Коэффициенты Клебша-Гордана

Коэффициенты Клебша-Гордана

Коэффициенты Клебша-Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша-Гордана применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша-Гордана названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса

см. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса J₁ и J₂, которые обладают квантовыми числами j₁ и m₁ (z-компонента) и j₂ и m₂. При этом m₁ и m₂ принимают значения m₁ = [ − j₁,...,j₁] и m₂ = [ − j₂,...,j₂] соответственно. Моменты импульса коммутируют [J₁,J₂] = 0, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): $\left| j_1, m_1 \right\rangle$ или $\left| j_2, m_2 \right\rangle$. В базисе $\left| j_1, m_1 \right\rangle$ момент J₁ принимает простой диагональный вид, аналогично J₂ в базисе $\left| j_2, m_2 \right\rangle$.

При взаимодействии, оба момента импульса J₁ и J₂ складываются в общий момент $\vec{J} = \vec{J_1} + \vec{J_2}$, который обладает квантовыми числами J и M, принимающими следующие значения

$| j_1 - j_2 | \le J \le | j_1 + j_2 |$ и M = [ − J,...,J] (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса J₁ и J₂, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

$\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle = \left| j_1, m_1 \right\rangle \otimes \left| j_2, m_2 \right\rangle$

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса $\vec{J}$ и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Собственные вектора момента $\vec{J}$ однозначно определяются квантовыми числами J, M, j₁ и j₂. В базисе этих векторов суммарный момент J принимает простую диагональную форму. А именно

$\vec{J}^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = J(J+1) \hbar^2 \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

$J_z \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = M \hbar \left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$

Коэффициенты Клебша-Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов $\left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle$ в базис собственных векторов $\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle$.

$\left| J, M, j_1, j_2 \right\rangle = \sum_{m_1, m_2} \left| j_1, m_1; j_2, m_2 \right\rangle \langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$

Здесь $\langle\ j_1, m_1; j_2, m_2 | J, M, j_1, j_2 \rangle$ являются коэффициентами Клебша-Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша-Гордана

• Коэффициенты Клебша-Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий $|j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2}$ и M = m₁ + m₂:

$\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_{1}-j_{2}|\le J\le j_{1}+j_{2}\ \ \wedge\ \ M=m_{1}+m_{2}$

• Коэффициенты Клебша-Гордана задают действительными числами:

$\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\in\mathbb{R}$

• Коэффициент Клебша-Гордана при M = J задают положительным:

$\langle j_{1},j_{1};j_{2},J-j_{1}|J,J,j_{1},j_{2}\rangle>0$

• Коэффициенты Клебша-Гордана равны по модулю при M = − M:

$\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1},-m_{1};j_{2},-m_{2}|J,-M,j_{1},j_{2}\rangle$

• Коэффициенты Клебша-Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum_{m_{1},m_{2}}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J',M',j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}$

• Коэффициенты Клебша-Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum_{J,M}\langle j_{1},m_{1};j_{2},m_{2}|J,M,j_{1},j_{2}\rangle\langle j_{1},m_{1}';j_{2},m_{2}'|J,M,j_{1},j_{2}\rangle=\delta_{m_{1}m_{1}'}\delta_{m_{2}m_{2}'}$

Вычисление коэффициентов Клебша-Гордана

Собственное состояние с J = j₁ + j₂ и M = J непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

$|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2},j_{1},j_{2}\rangle=|j_{1},j_{1};j_{2},j_{2}\rangle$

Применением оператора уменьшения $J_{-}=J_{1\, -}+J_{2\, -}$ можно получить состояния от $|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle$ до $|j_{1}+j_{2},-j_{1}-j_{2},j_{1},j_{2}\rangle$, или же все состояния с J = j₁ + j₂ и M = − J,...,J = − j₁ − j₂,...,j₁ + j₂.

Состояние $|j_{1}+j_{2}-1,j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle$ можно получить из условия ортогональности к состоянию $|j_{1}+j_{2},j_{1}+j_{2}-1,j_{1},j_{2}\rangle$ и соглашению о том, что коэффициент Клебша-Гордана при M = J является положительным.

Применением оператора уменьшения к J = j₁ + j₂ − 1 можно опять получить все состояния с M = − j₁ − j₂ + 1,...,j₁ + j₂ − 1. Итеративно можно применять эту процедуру для всех J до J = | j₁ − j₂ | .

См. также

3j символ

Ссылки

Таблица с примерами для некоторых значений j₁ и j₂ (PDF, 70 kB)

Литература

• Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963