3j символ

3-j символы Вигнера, называемые также 3-jm символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша-Гордана следующими формулами:

$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.$

Обратная связь

Обратная связь между коэффициентами Клебша-Гордана и 3j символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁ - j₂ - m₃ - это целое число и делая подстановку $m_3 \rightarrow -m_3$, получим

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & -m_3 \end{pmatrix}.$

Симметрия

Симметрия 3j символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша-Гордана. 3j символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_2 & j_3 & j_1\\ m_2 & m_3 & m_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_3 & j_1 & j_2\\ m_3 & m_1 & m_2 \end{pmatrix}.$

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_2 & j_1 & j_3\\ m_2 & m_1 & m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_1 & j_3 & j_2\\ m_1 & m_3 & m_2 \end{pmatrix}.$

Замена знака квантовых чисел $m$ также даёт дополнительную фазу:

$\begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ -m_1 & -m_2 & -m_3 \end{pmatrix} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}.$

Правила отбора

3j символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:

$m_1+m_2+m_3=0\,$

$j_1+j_2 + j_3\,$ целое

$|m_i| \le j_i$

$|j_1-j_2|\le j_3 \le j_1+j_2$.

Скалярная инвариантность

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j символами инвариантна при вращениях

$\sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3} |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix},$

Ортогональность

$(2j+1)\sum_{m_1 m_2} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j'\\ m_1 & m_2 & m' \end{pmatrix} =\delta_{j j'}\delta_{m m'}.$

$\sum_{j m} (2j+1) \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1 & m_2 & m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j\\ m_1' & m_2' & m \end{pmatrix} =\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'}.$

Связь со сферическими гармониками

Через 3j символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник

$\int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi= \sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} l_1 & l_2 & l_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix}$

где $l_1$, $l_2$ и $l_3$ являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами

$\int d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_2} Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}) {}_{s_3} Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat n}})=(-1)^{m_1+s_1} \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ m_1 & m_2 & m_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_1 & j_2 & j_3\\ -s_1 & -s_2 & -s_3 \end{pmatrix}$

Прочие свойства

$\sum_m (-1)^{j+m} \begin{pmatrix} j & j & J\\ m & -m & 0 \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2j+1}{2J+1}}\delta_{J0}$

$\frac{1}{2} \int_{-1}^1 dx P_{l_1}(x)P_{l_2}(x)P_{l}(x) = \begin{pmatrix} l & l_1 & l_2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ^2$

См. также

• Коэффициенты Клебша-Гордана
• 6-j символ
• 9-j символ
• 12-j символ
• 15-j символ

Литература

• Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
• L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
• D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
• A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
• Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
• E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Ссылки

• Вычислитель коэффициентов Вигнера от Антони Стоуна (Даёт точный ответ)
• онлайн калькулятор коэффициентов Клебша-Гордана, 3-j и 6-j символов (численно)
• калькулятор 369j-символов Лаборатории плазмы института имени Вайцмана (численно)