Коэффициенты Клебша

Коэффициенты Клебша — Гордана находят применение при описании взаимодействия квантовомеханических моментов импульса. Они представляют собой коэффициенты разложения собственных функций суммарного момента импульса по базису собственных функций суммируемых моментов импульса. Коэффициенты Клебша — Гордона применяются при вычислении спин-орбитального взаимодействия, а также в формализме изоспина.

Коэффициенты Клебша — Гордона названы в честь Альфреда Клебша (1833—1872) и Пауля Альберта Гордана (1837—1912).

Взаимодействие моментов импульса

См. также статью Оператор момента импульса.

Рассмотрим два момента импульса $J_1$ и $J_2$, которые обладают квантовыми числами $j_1$ и $m_1$ ($z$-компонента) и $j_2$ и $m_2$. При этом $m_1$ и $m_2$ принимают значения $m_1=[-j_1,\;\ldots,\;j_1]$ и $m_2=[-j_2,\;\ldots,\;j_2]$ соответственно. Моменты импульса коммутируют $[J_1,\;J_2]=0$, что означает, что оба могут быть измерены одновременно с любой точностью. Каждому моменту импульса соответствует свой базис собственных функций (векторов): $\left|j_1,\;m_1\right\rangle$ или $\left|j_2,\;m_2\right\rangle$. В базисе $\left|j_1,\;m_1\right\rangle$ момент $J_1$ принимает простой диагональный вид, аналогично $J_2$ в базисе $\left|j_2,\;m_2\right\rangle$.

При взаимодействии, оба момента импульса $J_1$ и $J_2$ складываются в общий момент $\vec{J}=\vec{J_1}+\vec{J_2}$, который обладает квантовыми числами $J$ и $M$, принимающими следующие значения

$|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant|j_1+j_2|$ и $M=[-J,\;\ldots,\;J]$ (с шагом 1).

Так как суммарный момент импульса состоит из двух отдельных моментов импульса $J_1$ и $J_2$, то он может быть разложен в пространстве произведения двух собственных пространств отдельных моментов:

$\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle=\left|j_1,\;m_1\right\rangle\otimes\left|j_2,\;m_2\right\rangle.$

Однако вектора этого базиса не будут являться собственными векторами суммарного момента импульса $\vec{J}$ и его представление в этом базисе не будет иметь простой диагональной формы.

Базис собственных векторов суммарного момента импульса

Собственные вектора момента $\vec{J}$ однозначно определяются квантовыми числами $J$, $M$, $j_1$ и $j_2$. В базисе этих векторов суммарный момент $J$ принимает простую диагональную форму. А именно

$\vec{J}^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=J(J+1)\hbar^2\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle;$

$J_z\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=M\hbar\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle.$

Коэффициенты Клебша — Гордана дают переход путём унитарного преобразования от базиса произведения собственных пространств отдельных моментов $\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle$ в базис собственных векторов $\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle$.

$\left|J,\;M,\;j_1,\;j_2\right\rangle=\sum_{m_1,\;m_2}\left|j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\right\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle.$

Здесь $\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle$ являются коэффициентами Клебша — Гордана.

Свойства коэффициентов Клебша — Гордана

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны нулю, если не выполнено одно из двух условий $|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2$ и $M=m_1+m_2$:

$\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\neq0\quad\Rightarrow\quad|j_1-j_2|\leqslant J\leqslant j_1+j_2\;\wedge\;M=m_1+m_2.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана задают действительными числами:

$\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\in\R.$

• Коэффициент Клебша — Гордана при $M=J$ задают положительным:

$\langle j_1,\;j_1;\;j_2,\;J-j_1\vert J,\;J,\;j_1,\;j_2\rangle>0.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана равны по модулю при $M=-M$:

$\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=(-1)^{j_1+j_2-J}\langle j_1,\;-m_1;\;j_2,\;-m_2\vert J,\;-M,\;j_1,\;j_2\rangle.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum_{m_1,\;m_2}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J',\;M',\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{JJ'}\delta_{MM'}.$

• Коэффициенты Клебша — Гордана удовлетворяют условию ортогональности:

$\sum_{J,\;M}\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle\langle j_1,\;m'_1;j_2,\;m'_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\delta_{m_1m'_1}\delta_{m_2m'_2}.$

Вычисление коэффициентов Клебша — Гордана

Собственное состояние с $J=j_1+j_2$ и $M=J$ непосредственно получается в базисе произведения собственных пространств составляющих моментов (только один коэффициент равен 1, остальные нулю)

$|j_1+j_2,\;j_1+j_2,\;j_1,\;j_2\rangle=|j_1,\;j_1;\;j_2,\;j_{2}\rangle.$

Применением оператора уменьшения $J_-=J_{1\,-}+J_{2\,-}$ можно получить состояния от $|j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle$ до $|j_1+j_2,\;-j_1-j_2,\;j_1,j_2\rangle$, или же все состояния с $J=j_1+j_2$ и $M=-J,\;\ldots,\;J=-j_1-j_2,\;\ldots,\;j_1+j_2$.

Состояние $|j_1+j_2-1,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle$ можно получить из условия ортогональности к состоянию $|j_1+j_2,\;j_1+j_2-1,\;j_1,\;j_2\rangle$ и соглашению о том, что коэффициент Клебша — Гордана при $M=J$ является положительным.

Применением оператора уменьшения к $J=j_1+j_2-1$ можно опять получить все состояния с $M=-j_1-j_2+1,\;\ldots,\;j_1+j_2-1$. Итеративно можно применять эту процедуру для всех $J$ до $J=|j_1-j_2|$.

На практике, вычисление коэффициентов Клебша — Гордана производится по формуле:

$\langle j_1,\;m_1;\;j_2,\;m_2\vert J,\;M,\;j_1,\;j_2\rangle=\sqrt{2j+1}\sqrt{\Delta_{j_1j_2j}}\sqrt{\dfrac{(j_1+m_1)!(j-m)!}{(j_1-m_1)!(j_2+m_2)!(j_2-m_2)!(j+m)!}}\times$

$\times\sum_{s=\max(m_1+m_2,\;j_1-j_2)}^j\dfrac{(-1)^{j_1+m_2-s}(j+s)!(j_2+s-m_1)!}{(j-s)!(s-m_1-m_2)!(s-j_1+j_2)!(j_1+j_2+s+1)!},$

где

$\Delta_{j_1j_2j}=\frac{(j_1+j_2-j)!(j_2+j-j_1)!(j+j_1+j_2+1)!}{(j_1-j_2+j)!}.$

Если $j_1-j_2$ — целое число, то суммирование в этой формуле ведётся по целым значениям $s$, а если $j_1-j_2$ — полуцелое число, то суммирование ведётся по полуцелым значениям $s$.

Коэффициенты Клебша — Гордана группы преобразований (обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана)

Рассмотрим группу $G$ и её представление. Выберем базисные вектора $\psi_\mu^{(\alpha)}$ и $\psi_\nu^{(\beta)}$ неприводимых представлений $D^{(\alpha)}$ и $D^{(\beta)}$ этой группы. Назовём неприводимым тензорным оператором (неприводимым тензором) совокупность $f_k$ операторов $\{\hat F^{(k)}_\chi\}_1^{f_k}$, если в результате преобразований $g$, образующих группу $G$, компоненты тензора $\hat F_\chi^{(k)}$ преобразуются друг через друга по неприводимым представлениям $D^{(k)}$ этой группы, то есть она удовлетворяет следующему соотношению:

$\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.$

Векторы $|\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle$, где $\chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta$ образуют базис представления $D^{(k)}\times D^{(\beta)}$. Это представление, вообще говоря, является приводимым. Поэтому его можно представить в виде линейных комбинаций базисных векторов неприводимых представлений $D^{(\gamma)}$, на которые разбивается прямое произведение представлений (указанное выше). Для этого используются обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы $G$ $\langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle$.

$|\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.$

Обобщённые коэффициенты Клебша — Гордана группы определяются как коэффициенты в разложении базисных векторов неприводимых представлений $\hat D^{(\gamma)}$ в линейную комбинацию прямого произведения представлений $\hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}$.

$\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma=\sum_{\mu,\;\nu}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)},$

где $V_\mu^{(\alpha)}, V_\nu^{(\beta)}$ — базисные векторы представлений $\hat D^{(\alpha)},\;\hat D^{(\beta)}$, а $\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma$ — базисные векторы представления $\hat D^{(\gamma)}$: $\hat D^{(\alpha)}\times\hat D^{(\beta)}=\sum_\gamma^\oplus a^{(\gamma)}\hat D^{(\gamma)}$.

• Из определения коэффициентов Клебша — Гордона следует: $V_\mu^{(\alpha)}V_\nu^{(\beta)}=\sum_{\gamma\rho}\langle\alpha\mu,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{V^{(\alpha)}V^{(\beta)}\}_\rho^\gamma$.
• Коэффициенты Клебша — Гордона образуют унитарную матрицу.

См. также

• 3j символ
• Теорема Вигнера — Эккарта

Ссылки

Таблица с примерами для некоторых значений $j_1$ и $j_2$ (PDF, 70 kB) (Примечание: в данной таблице подразумевается, что от значения коэффициента нужно взять квадратный корень)

Литература

• Собельман И. И. Введение в теорию атомных спектров. — Издательство Литература, 1963.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-ое изд. — Наука, 1976. — 664 с.