Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций, аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби.

Теорема

Для произвольной последовательности чисел $\{b_i\}\subset\mathbb C,\,|b_1|\leqslant|b_2|\leqslant\ldots\leqslant|b_n|\leqslant\ldots$ и последовательности функций {g_i} вида $g_i(z)=\sum^{\beta_i}_{n=1}\frac{c^{(i)}_{(-n)}}{(z-b_i)^n}$ существует мероморфная функция g(z) с полюсами в точках последовательности {b_i} и с главными частями разложений относительно этих точек, равными g_i(z).

Следствие

Любая мероморфная функция f(z) представима в виде суммы ряда $f(z)=h(z)+\sum_{n=0}^\infty\left(g_n(z)-P_n(z)\right)$, где h — целая функция, g_n — главные части лорановских разложений в полюсах f(z), занумерованных по возрастанию их модулей, и P_n — некоторые многочлены.