Кантора теорема

Кантора теорема

В теории множеств теорема Кантора гласит, что

Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств.


Доказательство

Предположим, что существует множество A, равномощное множеству всех своих подмножеств 2A, то есть что есть биекция f, ставящая в соответствие каждому элементу множества A некоторое подмножество множества A. Рассмотрим множество B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}. f биективно, а B \subseteq A, поэтому существует y \in A такой, что f(y) = B. Теперь посмотрим, может ли y принадлежать B. Если y \in B, то y \in f(y), а тогда, по определению B, y \not\in B. И наоборот, если y \not\in B, то y \not\in f(y), а следовательно, y \in B. В любом случае, получаем противоречие. Следовательно, исходное предположение ложно и A не равномощно 2A.

Заметим, что 2A содержит подмножество, равномощное A (например, множество всех одноэлементных подмножеств A), а тогда из только что доказанного следует | 2A | > | A |

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "Кантора теорема" в других словарях:

  • КАНТОРА ТЕОРЕМА — 1) Множество 2A, состоящее из всех подмножеств множества А, не равномощно ни самому А, ни его подмножеству. Идея доказательства этой теоремы, принадлежащая Г. Кантору (G.Cantor, 1878), получила название канторова диагонального метода и играет… …   Математическая энциклопедия

  • Теорема Кантора (значения) — Теорема Кантора: Теорема Кантора о множестве подмножеств в теории множеств Теорема Кантора Бендиксона Теорема Кантора Бернштейна Теорема Кантора Гейне …   Википедия

  • Теорема Кантора — Бернштейна — Теорема Кантора  Бернштейна (в англ. литературе теорема Кантора  Бернштейна  Шрёдера), утверждает, что если существуют инъективные отображения и между множествами A и B, то существует взаимооднозначное отображение …   Википедия

  • Теорема Кантора — Бендиксона — Всякое множество вещественных чисел есть объединение совершенного множества своих точек конденсации и счётного множества. Обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа) …   Википедия

  • Теорема Больцано — Вейерштрасса — Теорема Больцано Вейерштрасса, или лемма Больцано Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Больцано — Теорема Больцано  Вейерштрасса, или лемма Больцано  Вейерштрасса о предельной точке  предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся… …   Википедия

  • Теорема Сарда — Теорема Сарда  одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.[1] Названа в честь американского математика Артура Сарда.[2] В некоторых источниках называется теоремой… …   Википедия

  • Теорема Кантора — Гейне — в математическом и функциональном анализе гласит, что функция, непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нём. Формулировка Пусть даны два метрических пространства и Пусть также дано компактное подмножество …   Википедия

  • Теорема Кантора — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кантора (значения). В теории множеств теорема Кантора гласит, что Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. Доказательство Предположим, что существует множество ,… …   Википедия

  • Теорема Пифагора — Теорема Пифагора  одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Содержание 1 …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»