Теорема Сарда

Теорема Сарда — одна из теорем математического анализа, имеющих важные приложения в теории теории катастроф и теории динамических систем.^[1] Названа в честь американского математика Артура Сарда.^[2] В некоторых источниках называется теоремой Бертини—Сарда,^[3] а также иногда связывается с именами Энтони Морса (им получен более ранний частный результат)^[4] и Шломо Стернберга (более поздний общий результат)^[5]. В общем случае теорема формулируется следующим образом:

Пусть $U\,$ — открытое множество в пространстве $\R^m$ и $f: U \to\R^n$ — гладкая функция класса $\,C^k,$ где число $k\geqslant 1.$ Пусть $S \subset U$ — множество критических точек функции $\,f.$ Если $k \geqslant m-n+1,$ то множество критических значений $f(S)\,$ является множеством меры нуль (в смысле меры Лебега) в пространстве $\R^n.$

Как показал Х. Уитни, степень гладкости $\,k$ здесь не может быть уменьшена ни при каких сочетаниях $\,m$ и $\,n.$^{[6] [7]}

Пример

Рассмотрим тождественно постоянную функцию $f \equiv f_0.$ Все точки её области определения $U\,$ являются критическими, следовательно, $S=U.\,$ Однако множество критических значений $f(S)\,$ состоит из единственной точки $\,f_0$, и следовательно, имеет нулевую меру Лебега.

Вариации и обобщения

Лемма Сарда

Мера множества критических значений $\,C^1$-гладкой функции $f: [a,b] \to\R^1$ равна нулю.

Доказательство. Без ограничения общности будем считать отрезок $[a,b]=[0,1].\,$ Выберем число $\,\epsilon>0$ и разобьем отрезок $[0,1]\,$ на $\,n$ равных частей так, чтобы на каждой из них колебание производной $\,f'$ не превосходило $\,\epsilon.$ Это можно сделать в силу того, что по условию леммы, функция $\,f$ непрерывна на отрезке $[0,1]\,$, и следовательно (Теорема Кантора — Гейне), равномерно непрерывна на нём, т. е. $\forall \epsilon>0 \ \exist \delta>0 \ : \ |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon.$

Обозначим через $\Delta_i\,$ те отрезки (части сделанного выше разбиения), которые содержат хотя бы одну критическую точку функции $\,f,$ т. е. $\exist \xi_i\in \Delta_i \ : \ f'(\xi_i)=0.$ Очевидно, что для таких отрезков справедлива оценка $|f'(x)| \leqslant \epsilon$ для всех $x \in \Delta_i$, и следовательно (Формула конечных приращений), для любых двух точек $y_1,y_2 \in f(\Delta_i)\,$ выполнено неравенство $|y_1-y_2| \leqslant \max_{x\in \Delta_i} |f'(x)| \cdot |\Delta_i| \leqslant \epsilon/n.$

Покроем каждое множество $f(\Delta_i)\,$ интервалом длины $\,2\epsilon/n,$ тогда мы получим покрытие множества всех критических значений интервалами, сумма длин которых не превосходит $\,2\epsilon/n \cdot n = 2\epsilon.$ В силу произвольности выбора числа $\,\epsilon$ это означает, что мера множества критических значений равна нулю.

Теорема Дубовицкого

Пусть $M^m\,$ и $N^n\,$ — два гладких многообразия положительных размерностей $m\,$ и $n\,$ и $f: M^m \to N^n$ — гладкая функция класса $\,C^k,$ где $k\geqslant 1.$ Точка $x\in M^m$ называется неправильной, если ранг матрицы Якоби функции $f\,$ в ней меньше $n.\,$ Точка $y\in N^n$ называется неправильной, если $y=f(x)\,$ хотя бы для одной неправильной точки $x\in M^m$. В случае $m\geqslant n$ понятие неправильной точки совпадает с понятием критической точки функции. В случае $m<n\,$ все точки многообразия $M^m\,$ являются неправильными.

Если число $k \geqslant m-n+1,$ то множество неправильных точек отображения $f\,$ в многообразии $N^n\,$ имеет первую категорию по Бэру, то есть является конечным или счётным объединением компактных множеств, нигде не плотных в $N^n.\,$

Эта теорема была доказана советским математиком А. Я. Дубовицким, см. ^{[8] [9]} или ^[10].

Другие аналоги

Бесконечномерный аналог теоремы Сарда (для многообразий в банаховых пространствах) получен Стивеном Смейлом^[11]. Аналоги для отображений пространств Гёльдера и Соболева получены в^[12]. Аналог для функций пониженной гладкости получен в^[13].

Литература

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях, — М.: Мир, 1968.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения, — Любое издание.
• Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
• Sternberg S. Lectures on differential geometry, — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964.

Ссылки

• Wikipedia: Sard’s theorem (англ.)

Примечания

1. ↑ Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, параграф 10.
2. ↑ Sard A. The measure of the critical values of differentiable maps, — Bull. Amer. Math. Soc., 48 (1942), pp. 883—890.
3. ↑ Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, параграф 2.
4. ↑ Morse A.P. The behaviour of a function on its critical set. — Annals of Mathematics, vol. 40, N 1 (1939), pp. 62—70.
5. ↑ Sternberg S. Lectures on differential geometry.
6. ↑ Зорич В. А. Математический анализ, том II, глава XI, параграф 5.
7. ↑ Whitney H. A function not constant on a connected set of critical points, — Duke Math. J., 1 (1935), 514—517.
8. ↑ Дубовицкий А. Я. О дифференцируемых отображениях n-мерного куба в k-мерный куб. Матем. сб., 1953, 32(74):2, с. 443—464.
9. ↑ Дубовицкий А. Я. О структуре множеств уровня дифференцируемых отображений n-мерного куба в k-мерный куб. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1957, 21:3, с. 371—408.
10. ↑ Понтрягин Л. С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, — Любое издание.
11. ↑ Smale S. An Infinite Dimensional Version of Sard’s Theorem, — American Journal of Mathematics, vol. 87, N 4 (1965), pp. 861—866.
12. ↑ Bojarski B., Hajlasz P., Strzelecki P. Sard’s theorem for mappings in Holder and Sobolev spaces, — Manuscripta Math., 118 (2005), pp. 383—397.
13. ↑ Коробков М. В. Об одном аналоге теоремы Сарда для $C^1$-гладких функций двух переменных, — Сибирский математический журнал, 2006, 47:5, с. 1083—1091.