Инверсия (в математике)

Инверсия (от лат. inversio — обращение) относительно окружности или сферы есть преобразование определённого типа евклидовой плоскости или евклидова пространства с выколотой точкой.

Определение

Пусть в евклидовой плоскости задана некоторая окружность Γ с центром O (называемым полюсом или центром инверсии, эта точка выколота) и радиусом R. Инверсия точки P относительно Γ есть точка P', лежащая на луче OP такая, что

$|OP'|\cdot|OP|=R^2.$

Инверсия превращает внутреннюю область окружности во внешнюю, и обратно.

Часто к плоскости добавляют «бесконечно удалённую точку» $\infty$ и считают её инверсией O, а O инверсией $\infty$. В этом случае, инверсия является преобразованием этой расширенной «круговой плоскости».

Аналогично определяется инверсия евклидова пространства относительно сферы.

Свойства

Пусть i обозначает инверсию относительно окружности Γ с центром O, тогда

• Инверсия является инволюцией, т.е. i(i(P)) = P для любой P;
• Прямая, проходящая через O, переходит в себя;
• Прямая, не проходящая через O, переходит в окружность, проходящую через O;
• Окружность, проходящая через O, переходит в прямую, не проходящую через O;
• Окружность, не проходящая через O, переходит в окружность, не проходящую через O (но образ её центра не является центром образа);
• Инверсия является антиголоморфным отображением комплексной плоскости. В частности:
  • Инверсия является конформным отображением второго рода. (т. е. она сохраняет углы между кривыми и меняет ориентацию).
• Окружность или прямая, перпендикулярная к Γ, переходит в себя.

Координатные представления

Декартовы координаты

Инверсия относительно единичной окружности с центром в точке начале координат может задаваться соотношением:

$(x,y)\mapsto \left(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\right).$

Если точку плоскости задать одной комплексной координатой z = x + iy, то это выражение можно переписать как

$z\mapsto (\bar z)^{-1},$

где $\bar z$ — комплексно сопряжённое число для z.

В общем случае, инверсию относительно окружности с центром в точке O = (x₀,y₀) и радиусом r можно задать следующими соотношениями:

$(x,y)\mapsto \left(x_0+\frac{r^2(x-x_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2},y_0+\frac{r^2(y-y_0)}{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\right).$

Полярные координаты

Инверсия относительно окружности радиуса r с центром в точке начале координат может задаваться соотношением:

$(\phi,\rho)\mapsto (\phi,r^2/\rho)$

Подобные соотношения в общем случае достаточно громоздки.

Ссылки

• С. А. Ануфриенко «Симметрия относительно окружности»
• И. Я. Бакельман, «Инверсия», «Популярные лекции по математике», Выпуск № 44, М., «Наука» 1966 г., 32 стр.
• Р. Курант, Г. Роббинс, «Что такое математика?», глава III, § 4.