Икозаэдрон

Икосаэдр
Для увеличения, щёлкните по картинке. Щёлкните по ссылке, чтобы просмотреть вращение фигуры.
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный треугольник
Граней	20
Рёбер	30
Вершин	12
Граней при вершине	5
Группа симметрии	Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник	додекаэдр

Икоса́эдр (от греч. εικοσάς, «двадцать» и греч. -εδρον, «грань», «лицо», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12.

Площадь S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

$S=5\sqrt3a^2$

$V=\begin{matrix}{5\over12}\end{matrix}(3+\sqrt5)a^3$

$r=\begin{matrix}{1\over{4\sqrt3}}\end{matrix}(3+\sqrt5)a$

$R=\begin{matrix}{1\over4}\end{matrix}\sqrt{2(5+\sqrt5)}a$

Свойства

• Икосаэдр можно вписать в куб, при этом, шесть взаимно параллельных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
• В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при том вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• В икосаэдр можно вписать додекаэдр, при том вершины додекаэдра будут совмещены с центрами граней икосаэдра.

Приложения

• Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения^[1]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.

Тела в форме икосаэдра

В микромире

• Капсиды многих вирусов (например, бактериофаги, мимивирус).

Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20(dice — кости).

См. также

• Звёздчатый икосаэдр

Литература

• Д. Гильберт «Икосаэдр»

Примечания

1. ↑ OpenGL Red Book Ch.2