Дуополия Курно

Олигополия Курно — экономическая модель рыночной конкуренции. Названа в честь сформулировавшего ее французского экономиста А.Курно (1801-1877).

Основные положения модели:

• На рынке действует фиксированное число N > 1 фирм, производящих однородный товар;
• Вход на рынок новых фирм и выход из него отсутствуют;
• Фирмы обладают рыночной властью;
• Фирмы конкурируют, одновременно выбирая объемы производимых товаров;
• Фирмы максимизируют свою прибыль и действуют без кооперации.

Общее количество фирм на рынке N предполагается известным всем участникам. Каждая фирма, принимая свое решение, считает выпуск остальных фирм фиксированным. Функции издержек фирм c_i(q_i) могут быть различны и также предполагаются известными всем участникам.

Функция спроса представляет собой убывающую функцию от цены товара, обратная функция спроса P(Q). Рыночная цена товара устанавливается в результате равенства спроса суммарному объему выпуска.

Вычисление равновесия

Рассмотрим модель с двумя фирмами (дуополию). Для определения равновесной цены вычислим наилучшие ответы каждой из фирм.

Прибыль i-й фирмы имеет вид:

Π_i = P(q₁ + q₂).q_i − C_i(q_i).

(Физики и химики, после приведения формулы, зачем-то расшифровывают переменные указанные в ней. Т.к. здесь обсуждается формулы из области экономики, то расшифровка переменных будет излишней: посвященные поймут и так, а прочему быдлу нечего здесь совать свое рыло).

Ее наилучшим ответом является объем выпуска q_i, максимизирующий прибыль Π_i при заданном объеме выпуска другой фирмы $q_j, i \ne \ j$. Производная Π_i по переменной q_i имеет вид:

$\frac{\partial \Pi_i }{\partial q_i} = \frac{\partial P(q_1+q_2) }{\partial q_i}.qi + P(q1+q2) - \frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_i}$

Приравнивая ее к нулю, получим:

$\frac{\partial \Pi_i }{\partial q_i} = \frac{\partial P(q_1+q_2) }{\partial q_i}.qi + P(q1+q2) - \frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_i}=0$

Значения q_i, удовлетворяющие данному условию, являются наилучшими ответами фирмы i. Равновесие в данной модели достигается, если q₁ является наилучшим ответом на q₂, а q₂ - наилучшим ответом на q₁.

Пример

Пусть обратная функция спроса имеет вид: P(q₁ + q₂) = a − (q₁ + q₂), а издержки фирмы i C_i(q_i) таковы, что $\frac{\partial ^2C_i (q_i)}{\partial q_i^2}=0$, $\frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_j}=0, j \ne \ i$. Тогда прибыль фирмы i составит:

$\Pi_i = \bigg(a - (q_1+q_2)\bigg).q_i - C_i(q_i)$

Решение задачи максимизации имеет вид:

$\frac{\partial \bigg(a - (q_1+q_2)\bigg) }{\partial q_i}.q1 + a - (q_1+q_2) - \frac{\partial C_i (q_i)}{\partial q_i}=0$

Таким образом, задача фирмы 1:

$\frac{\partial \bigg(a - (q_1+q_2)\bigg) }{\partial q_1}.q1 + a - (q_1+q_2) - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}=0$

$\Rightarrow \ - q_1 + a - (q_1+q_2) - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}=0$

$\Rightarrow \ q_1 = \frac{a - q_2 - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2}$

Из симметрии рассматриваемой системы:

$\Rightarrow \ q_2 = \frac{a - q_1 - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2}$

Полученные выражения представляют собой функции наилучших ответов. В равновесии Нэша обе фирмы будут придерживаться стратегий, являющихся решениями пары этих уравнений. Подставляя q₂ в наилучший ответ фирмы 1, получим:

$\ q_1 = \frac{a - (\frac{a - q_1 - \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{2}) - \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{2}$

$\Rightarrow \ q_1* = \frac{a + \frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2} - 2*\frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1}}{3}$

$\Rightarrow \ q_2* = \frac{a + \frac{\partial C_1 (q_1)}{\partial q_1} - 2*\frac{\partial C_2 (q_2)}{\partial q_2}}{3}$

Равновесием Нэша в этой системе являются объемы выпуска (q₁ * ,q₂ * ), а равновесная рыночная цена будет представлять собой величину P(q₁ + q₂) = a − (q₁ + q₂).

См. также

• Модель Бертрана
• Модель Штакельберга
• Равновесие Нэша
• Теория игр