Равновесие дрожащей руки

Равновесие дрожащей руки — принцип оптимальности в некооперативных играх, представляющий собой равновесие Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зелтеном в 1975 г. в работе ^[1].

Формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме $\Gamma = <I, \{X_i\}_{i \in I}, \{H_i\}_{i \in I}>$. Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {p_ε} → q, что стратегия q_i является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора p_ε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.

Пример

Приведенная игра двух лиц в нормальной форме имеет два равновесия Нэша: (Верх, Лево) and (Низ, Право). Однако, только (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

	Лево	Право
Верх	1, 1	2, 0
Низ	0, 2	2, 2

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию $(1-\epsilon, \epsilon)$, для некоторого $0<\epsilon <1$. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево, составит:

$1(1-\epsilon) + 2\epsilon = 1+\epsilon$.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:

$0(1-\epsilon) + 2\epsilon = 2\epsilon$.

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ, если игрок 2 использует смешанную стратегию $(1-\epsilon, \epsilon)$. Следовательно, (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н, П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию $(\epsilon, 1-\epsilon)$. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л, составит:

$1\epsilon + 2(1-\epsilon) = 2-\epsilon$.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

$0(\epsilon) + 2(1-\epsilon) = 2-2\epsilon$.

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, (Н, П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.

Ссылки

1. ↑ Selten, R. (1975). «A reexamination of the perfectness concept for equilibrium points in extensive games». International Journal of Game Theory 4: 25-55.

Литература

• Зелтен, Р., Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
• Печерский, С.Л., Беляева, А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269-363.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223-266.