Дифференциальные формы в электродинамике

Дифференциальные формы в электромагнетизме

Граф Десшампа

Уравнения Максвелла-Фарадея и Максвелла-Ампера с использованием дифференциальных форм в трёх измерениях, следуя Десшампу, можно изобразить в виде графа

где $\bold{d} \wedge$ обозначает внешнее дифференцирование формы по метрическому пространству, а $\bold{d}t$ — дифференцирование формы по времени. Знак минус обозначает, что дифференциал суммируется с обратным знаком.

Например, уравнения Максвелла — Ампера (сформулированные впервые Хевисайдом) можно получить из правого графа Десшампа, если записать выражения для J и D.

$\bold{d} \wedge \bold{H}\, - \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J}$

$\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e$

Для получения выражений, надо просуммировать (с учётом знака) все входящие стрелки (то-есть, соответствующие им дифференциалы) выбранной физической величины.

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\vec{\vec{\textbf{F}}} = \vec{\vec{F_{ab\alpha\beta}}}\, (a \wedge b) \mid (\alpha \wedge \beta) = \vec{\vec{F_{ab\alpha\beta}}}\,\frac{1}{2}(\alpha\beta - \beta\alpha)\mid\mid(ab-ba).$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), аналогичная ситуация — лишь с другой группой — возникает в любой калибровочной теории. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

или, что тоже самое (это выражение является обобщением теоремы Гаусса и теоремы Стокса):

$(\bold d \wedge \Phi) \mid \Gamma = \mathrm{d}\, {*\textbf{F}} \mid \Gamma = {\textbf{F}} \mid \partial \Gamma$

В этих обозначениях уравнения Максвелла в геометрических единицах могут быть очень компактно записаны как

$\bold{d}\wedge {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\bold{d} \wedge ({*\textbf{F}}) = \textbf{J}$

где * — оператор Ходжа (он же звёздочка Ходжа или просто звёздочка). Подобным образом может быть описана геометрическая структура любой калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F} = \mathbf{\Psi}$ также называется 2-формой Максвелла.

Уравнение Максвелла-Ампера

$\bold d \wedge \Psi = \gamma_e$

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в трёхмерном пространстве

Запишем уравнения Максвелла в терминах дифференциальных форм для трёхмерного пространства. В дополнительной горизонтальной графе 2 показаны номера дифференциальных форм для трёхмерного пространства. Первая половина системы уравнений Максвелла называется уравнения Максвелла-Фарадея. При записи уравнений с использованием дифференциальных форм векторный оператор набла $\nabla$ заменяется на операцию внешнего произведения $\bold{d} \wedge$ по пространству. Для 1-формы E, которая представлена векторной физической величиной, эта операция $\bold{d} \wedge$ есть $\operatorname{rot}$. Для 2-формы В та же самая операция $\bold{d} \wedge$ является $\operatorname{div}$. Получается уравнение для 2-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{B} = 0$

и уравнение для 3-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{B} = 0$

Все физические величины записаны в единицах системы СИ. Из теорема де Рама|теоремы де Рама следует: 2-форма В локально может быть представлена через 1-форму A:

$\bold{B} = \bold{d} \wedge \bold{A}$

Тогда:

$\bold{d} \wedge ( \bold{E}\, + \, \partial_t \mathbf{A} ) = 0$

Используя снова теорему де Рама, мы определяем скалярный потенциал электрического поля 0-форму $\bold{\phi}$. Приравниваем выражение в скобках в последней формуле $-{ \bold{d} \phi}$ и напряжённость электрического поля, следовательно есть:

$\bold{E} = - \bold{d} \phi \, - \, \partial_t \mathbf{A}$

Представление полей в терминах векторного магнитного потенциала и скалярного электрического потенциала неоднозначно, так как потенциалы A и $\bold{\phi }$ могут отличаться на любую скалярную функцию $\bold{\psi}$.

$\phi \rarr \phi + \partial_t \psi \,$ , $\, \bold{A} \rarr \bold{A} - \bold{d} \psi$

Такое условие называется условием Лоренца. Эти уравнения не зависят от природы электромагнитной среды.

Вторая половина так называемых уравнений Максвелла (впрочем сформулированных в таком виде Хевисайдом) называется уравнения Максвелла-Ампера. Вектор H заменяем на 1-форму H. Вектор D на 2-форму D. Тогда в нотации дифференциальных форм:

$\bold{d} \wedge \bold{H}\, + \, \partial_t \mathbf{D} = \mathbf{J}$

и уравнение для 3-формы:

$\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e$

В правых частях этих выражений находятся плотности. J 2-форма плотности электрического тока или плотность магнитного потенциала. $\bold{\rho_e}$ 3-форма плотность заряда или плотность кванта электрического поля. Применим операцию внешнего произведения по пространственной физической величине к уравнению для 2-формы. Тогда с учётом

$\bold{d} \wedge \bold{d} \wedge \bold{H} = 0$

получим уравнение непрерывности:

$\bold{d} \wedge \bold{J}\, + \, \partial_t \mathbf{\rho_e} = 0$

Все выражения которые приведены выше можно представить в виде графа Десшампа (который приведён выше).

Обобщённый граф уравнений Максвелла для дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени

Запишем 1-форму для четырёхмерного времени-пространства.

$\tau = c \, t$

$\bold d \tau \partial_t = {1 \over c} \, \partial_t \,$

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$

$\Tau = \bold t + \bold l \wedge \bold d \tau$

Запишем форму для угла-скорости.

$\vec{\vec{I_E^T}} = \sum_{i=1}^3 \varepsilon_i \bold e_i$

$\Alpha = \omega + v \wedge \bold d \tau = \vec{\vec{I_E^{(2)T}}} + \vec{\vec{{I_E^T}_\wedge^\wedge}} \, \bold d \tau \, \bold e_\tau = {1 \over 2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 (\varepsilon_i \wedge \varepsilon_j )(\bold e_i \wedge \bold e_j) + \sum_{i=1}^3 ( \varepsilon_i \wedge \bold d \tau )\,( \bold e_i \wedge \bold e_\tau )$

Запишем дифференциальный оператор Минковского для четырёхмерного пространства (пространство-время).

$\bold d = \bold d_E + \bold d \tau \, \partial_\tau$

$\bold d_E = \sum_{i=1}^3 \bold d x_i \, \partial_{x_i} = \bold d x \,\partial_x + \,\bold d y \,\partial_y + \bold d z \,\partial_z$.

Запишем 2-форму для магнитного поля

$\Phi = B + E \wedge \bold d \tau$

Тогда уравнения Максвелла-Фарадея сведутся в одно выражение:

$\bold d \wedge \Phi = 0$

Запишем 3-форму источников для уравненений Максвелла-Ампера

$\gamma = \rho - J \wedge \bold d \tau$

Запишем 2-форму для электрического поля

$\Psi = D - H \wedge \bold d \tau$

Уравнение Максвелла-Ампера

$\bold d \wedge \Psi = \gamma_e$

Запишем 1-форму $\bold \alpha \,$ для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре).

$\Phi = \bold d \wedge \alpha = \bold d \wedge ( \alpha + \bold d \psi )$

где $\bold \psi \,$ 0-форма или скалярная функция.

$\alpha = A - \phi \bold d \tau$

Приведём граф Десшампа для четырёхмерного пространства-времени.

$\alpha \to^d \Phi \to^d 0$

$\Psi \to^d \gamma \to^d 0$

Запишем материальное уравнение для среды.

$\Psi = \vec{\vec{M}} \, | \, \Phi$

где $\vec{\vec{M}}$ --- двухэлементный тензор(diadics).

Магнитные источники

Магнитный источник состоит из четырёхмерной 2-формы магнитного тока J_m и четырёхмерной 3-формы плотности магнитного заряда ρ_m:

$\gamma_m = \rho_m - J_m \wedge \bold d \tau$

$\bold d \wedge \gamma_m = 0$

По теореме де Рама магнитный четыре ток можно представить через вторую форму:

$\bold d \wedge \Phi_m = \gamma_m$

Это обобщение от:

$\bold d \wedge \Phi = 0$

При постоянных магнитных источниках $\varphi$ не может быть выражена через 1-форму $\bold \alpha \,$ для четырёхмерного потенциала электромагнитного поля (используем теорему де Рама, лемму Пуанкаре):

$\alpha = A - \phi \bold d \tau$

$\Phi \neq \bold d \wedge \alpha$

В случае электрических и магнитных источников имеем:

$\bold d \wedge \Psi = \gamma_e$

$\bold d \wedge \varphi = \gamma_m$

Или что тоже самое:

$\bold{d} \wedge \bold{E}\, = - \partial_\tau \mathbf{B} - \mathbf{J}_m$

$\bold{d} \wedge \bold{B} = \rho_m$

$\bold{d} \wedge \bold{H}\, = \partial_\tau \mathbf{D} - \mathbf{J}_e$

$\bold{d} \wedge \bold{D} = \rho_e$

Четыре 2-Формы и Четыре источники (3-формы) взаимно заменяемы (можно трансформировать одно в другое):

$\Phi \leftrightarrow \Psi \, , \, \gamma_e \leftrightarrow \gamma_m$

При исчезающих электрических источниках (γ_e = 0) Ψ может быть выажена через магнитный четыре потенциал:

$\Psi = \bold d \wedge \alpha_m$

И соответственно:

$\bold d \wedge \Psi = 0$

В случае наличия электрических и магнитных источников: Поля $\Phi_e \, , \, \Psi_e$ появляются из электрических источников γ_e и определяются через электрический четыре потенциал α_e. Поля $\Phi_m \, , \, \Psi_m$ появляются из магнитных источников γ_m и определяются через магнитный четыре потенциал α_m.

Выражения для суперформ

$Form \to^d source \to^d 0$

где:

$Form = \dbinom {\Psi} {\Phi}$

$source = \dbinom {s_e} {s_m} = \dbinom {\dbinom {\rho_e} {j_e} } {\dbinom {0} {\gamma_m}}$

$0 = \dbinom {\dbinom {0} {0}} {\dbinom {0} {0}}$

История

В 1978 году Плотников Николай Александрович публикует созданную им Систему Физических Величин (СФВ)^[1]. Она основана на системе единиц СИ. СФВ использует пространственно-временную систему координат и дополнительную ось фундаментальных физических постоянных /ф.ф.п./

В статье 1981 года Десшамп^[2] помещает два графа (DAG) для электромагнитных дифференциальных форм и описание аппарата дифференциальных форм. Оба графа взаимосвязи дифференциальных форм Дешампа полностью содержится в Системе Физических Величин Плотникова Н. А. Теоремы Стокса и Гаусса, а так же операции с дифференциальными формами различного порядка так же описаны в публикации Плотникова Н. А. от 1978 года.

В 2004 году Ismo V. Lindell^[3] публикует книгу с подробным описанием аппарата дифференциальных форм и его применения к теории электромагнитного поля. Эта работа — отличное и глубокое введение в современный язык теории электромагнитного поля. Книга Ismo V. Lindell содержит последние результаты автора по исследованию сред со сложными электромагнитными свойствами. Ismo V. Lindell значительно развил аппарат математического описания физических процессов электромагнитного поля.

Примечания

1. ↑ Плотников Н. А. Система физических величин. ВОИР и Вологодский Областной Совет ВОИР. Вологда. 1978., (ББК 22.3 с, УДК 53.081)
2. ↑ Deschamps G. Electromagnetics and differential forms. IEEE Proceedings, Vol. 69, No. 6, pp. 676—687. 1981.
3. ↑ Lindell I. V. Differential Forms in Electromagnetics. IEEE Press, Wiley Interscience, 2004. — ISBN 0-471-64801-9

Литература

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
• Плотников Н. А. Система физических величин. ВОИР и Вологодский Областной Совет ВОИР. Вологда. 1978., (ББК 22.3 с, УДК 53.081)
• Система физических величин Н. А. Плотникова (целиком)
• Lindell I. V., Differential Forms in Electromagnetics. IEEE Press, Wiley Interscience, 2004. — ISBN 0-471-64801-9
• Ismo V. Lindell, Ari Sihvola, Perfect electromagnetic conductor, Journal of Electromagnetic Waves and Applications,, Vol. 19, No. 7, pp. 861-869, 2005
• Differential Forms in Electromagnetic Theory Brigham Young University Department of Electrical and Computer Engineering Richard H. Selfridge, David V. Arnold and Karl F. Warnick
• P. Castillo, J. Koning, R. Rieben and D. White, A Discrete differential forms framework for computational electromagnetism, Computer Modeling in Engineering and Sciences, 2004, Vol 5, No 4, pp. 331—346.
• Castillo P., Koning J., Rieben R., Stowell M., White D., Discrete Differential Forms: A Novel Methodology for Robust Computational Electromagnetics. California, Lawrence Livermore National Laboratory Technical Information Department’s Digital Library, January 17,2003
• Deschamps G., Electromagnetics and differential forms. IEEE Proceedings, Vol. 69, No. 6, pp. 676—687. 1981.

См. также

• Диада (англ. Dyadic tensor)
• Двухэлементный тензор (англ. Dyadic tensor)
• Умножение двухэлементного тензора (англ. Dyadic product)
• Кватернион
• Внешняя алгебра