Уравнения Гамильтона

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

$\dot p_j = -\frac{\partial H}{\partial q_j}$

$\dot q_j =~~\frac{\partial H}{\partial p_j}$

где точкой над p и q обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где $H = H(q,p,t) \equiv H(q_1,q_2,...,q_N, p_1,p_2,...,p_N,t)$ — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, $t$ — время^[1], $q_i$ — (обобщенные) координаты $(q_1, q_2,\dots,q_N)$, и $p_i$ — обобщенные импульсы $(p_1, p_2, \dots, p_N)$, определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Ньютоновский физический смысл

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан $H~$ представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых $T~$ и $V~$ соответственно:

$H = T + V ,~ T = \frac{p^2}{2m},~ V = V(q) = V(x)$

В частном случае, если q = X — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

$X_1 = x_1,\; X_2 = y_1,\; X_3 = z_1,\ \ X_4 = x_2,\; X_5 = y_2,\; X_6 = z_2,\;\dots$

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

$\dot{\vec P} = - \nabla V$

$\dot{\vec X} = \vec p / m$

где $\vec X = (X_1,X_2,\dots,X_N)$, причем каждое подпространство дает радиус-вектор соответствующей материальной точки:

$\vec r_1 = (X_1,X_2,X_3),\ \vec r_2 = (X_4,X_5,X_6),\;\dots$

а обобщенные импульсы — соответствующие компоненты трехмерных импульсов этой точки:

$\vec p_1 = (P_1,P_2,P_3),\ \vec p_2 = (P_4,P_5,P_6),\;\dots$

Фундаментальная интерпретация

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) $\omega$ через волновой вектор $\mathbf x$ для каждой точки пространства^[2]:

$\omega = H(\mathbf k,\mathbf x).$

В классическом приближении (при больших^[3] частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от $\mathbf x$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых ($\dot q_i = \partial H/ \partial p_i$) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие ($\dot p_i = - \partial H/ \partial q_i$) вполне естественно — как изменение, в частности поворот, волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определенного типа.

Вывод уравнений Гамильтона

Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

$S = \int\limits_{t_1}^{t_2} \bigg( \sum_i p_i \dot q_i - H(q,p,t) \bigg) dt$,

независимо по $q$ и по $p$.

Вывод из лагранжевой механики

Мы можем вывести уравнения Гамильтона используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

$\mathrm{d} L = \sum_i \left ( \frac{\partial L}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} \mathrm{d} {\dot q_i} \right ) + \frac{\partial L}{\partial t} \mathrm{d}t$

обобщённые импульсы определяются как $p_i = \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}}$, и уравнения Лагранжа гласят: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i$

где $F_i$ — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду $\frac{\partial L}{\partial q_i} = {\dot p}_i - F_i$ и результат подставляется в вариацию лагранжиана

$\mathrm{d}L = \sum_i \left[ \left( {\dot p}_i - F_i \right) \mathrm{d} q_i + p_i \mathrm{d} {\dot q_i} \right] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

Можно записать:

$\mathrm{d} L = \sum_i \left [ \left ( {\dot p}_i - F_i \right ) \mathrm{d}q_i + \mathrm{d}\left ( p_i {\dot q_i} \right ) - {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

и преобразуется к форме:

$\mathrm{d} \left ( \sum_i p_i {\dot q_i} - L \right ) = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d}p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

$\mathrm{d} H = \sum_i \left [ \left ( F_i-{\dot p}_i \right ) \mathrm{d} q_i + {\dot q_i} \mathrm{d} p_i \right] - \frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t = \sum_i \left [ \frac{\partial H}{\partial q_i} \mathrm{d} q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \mathrm{d} p_i \right ] + \frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t$

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими $p~$ и $q~$. В этом случае, более общая форма уравнений Гамильтона гласит

$\frac{dA}{dt} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}$,

где $A~$, называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных $p~$, $q~$ и $t~$, и $H~$ — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для $q~$ и $p~$, он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. также

• Лагранжева механика
• Классическая механика
• Динамические системы
• Уравнение Гамильтона — Якоби
• Симплектическое пространство
• Симплектическое многообразие

Примечания

1. ↑ От времени функция Гамильтона, вообще говоря, может зависеть явно, хотя во многих фундаментальных случаях такой зависимости как раз нет.
2. ↑ Поскольку энергия и импульс и есть частота и волновой вектор, отличаясь от них лишь универсальным постоянным множителем, который может быть выбран и единичным в подходящей системе единиц.
3. ↑ Поскольку в связь энергии и частоты, импульса и волнового вектора в обычных системах единиц входит конcтанта Планка, которая в этих обычных системах единиц очень мала, то обычным для классической механики энергиям и импульсам соответствуют очень большие (в соизмерении с обычными для классической механики пространственными и временными масштабами) частоты и волновые векторы.

Литература

• Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 222 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
• Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959