ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ ТЕОРИЯ это:

ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ ТЕОРИЯ

раздел классического вариационного исчисления и аналитич. механики, в к-ром задача нахождения экстремалей (или задача интегрирования гамильтоновой системы уравнений) сводится к интегрированию нек-рого уравнения с частными производными 1-го порядка - так наз. уравнения Гамильтона - Якоби. Основы Г.- Я. т. были разработаны У. Гамильтоном (W. Hamilton) в 20-х гг. 19 в. в применении к задачам волновой и геометрич. оптики. В 1834 У. Гамильтон распространил свои идеи на задачи динамики, а в 1837 К. Якоби (С. Jacobi) применил этот метод для общих задач классического вариационного исчисления.

Исходные позиции Г. -Я. <т. были заложены в 17 в. П. Ферма и X. Гюйгенсом на материале геометрич. оптики (см. Ферма принцип и Гюйгенса принцип). Рассмотрим, следуя У. Гамильтону, задачу о распространении света в неоднородной (но для простоты - изотропной) среде, где v(x)-локальная скорость света в точке х. В соответствии с принципом Ферма свет в неоднородной среде распространяется от точки к точке за кратчайшее время. Пусть исходная точка, а - минимальное время, требуемое свету для преодоления пути от х 0 к х. Функцию называют эйконалом, или оптической длиной пути. Допустим, что за малое время свет распространился из точки хдо точки . В соответствии с Гюйгенса принципом свет с точностью до малых более высокого порядка будет распространяться по нормали к поверхности уровня функции W(x). Таким образом выполняется равенство


из к-рого следует уравнение Гамильтона - Якоби для задач геометрич. оптики:


В аналитич. механике роль принципа Ферма играет вариационный Гамильтона -Остроградского принцип, а роль эйконала играет функция действия, представляющая собой интеграл


вдоль траектории , соединяющей фиксированную точку с точкой , где L - функция Лагранжа механич. системы.

К. Якоби предложил рассматривать функцию действия, подобную (1), для любой задачи классического вариационного исчисления. Экстремали задачи , исходящие из точки , пересекают поверхность уровня функции действия трансверсально (см. Трансверсальности условие), из этого выводят вид дифференциала функции действия:


где - Гамильтона функция (см. также Лежандра преобразование).

Последнее соотношение приводит к уравнению для функции S:


Это уравнение и наз. уравнением Гамильтон а - Якоби.

Важнейшим результатом Г. -Я. т. является теорема Якоби, заключающаяся в том, что полный интеграл уравнения (2), т. е. решение этого уравнения, зависящее от параметров (с условием невырожденности ), позволяет получить общий интеграл уравнения Эйлера функционала (1), или, что то же самое,- гамильтоновой системы, связанной с этим функционалом, по формулам Применение теоремы Якоби к интегрированию гамильтоновых систем основано, как правило, на методе разделения переменных в специально выбранных координатах.

Несмотря на то, что интегрирование уравнений с частными производными составляет, как правило, более сложную задачу, чем отыскание решений обыкновенных уравнений, Г. -Я. т. оказалась мощным орудием исследования задач оптики, механики и геометрии. Суть принципа Гюйгенса была применена Р. Беллманом (R. Bellmann) к задачам оптимального управления.

См. также Гильберта, инвариантный интеграл.

Лит.:[1] Вариационные принципы механики, М., 1959; [2] Парс Л.-А., Аналитическая динамика, пер. е англ., М., 1971, с. 283-86; [3] Арнольд В. И., Математические методы классической механики, М., 1974, с. 219-24; [4] Ахиезер Н. И., Лекции по вариационному исчислению, М., 1955, с. 92-96. В. М. Тихомиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ ТЕОРИЯ" в других словарях:

  • Теория Колмогорова — Теория Колмогорова  Арнольда  Мозера, или теория КАМ  названная в честь её создателей, А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мозера, ветвь теории динамических систем, изучающая малые возмущения почти… …   Википедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — теория релятивистских квантовых систем. Возникновение К. т. п. связано с задачами о взаимодействии вещества с излучением и с попытками построения релятивистской квантовой механики [П. Дирак (P.A.M. Dirac, 1927), В. Гейзенберг (W. Heisenberg), В.… …   Математическая энциклопедия

  • Общая теория относительности — Альберт Эйнштейн (автор общей теории относительности), 1921 год …   Википедия

  • Теорема Гамильтона-Кэли — Теорема Гамильтона Кэли  известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. (Если …   Википедия

  • Теорема Гамильтона — Теорема Гамильтона  Кэли  известная теорема из теории матриц, названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Теорема Гамильтона Кэли Любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Если …   Википедия

  • Цикл Гамильтона — Граф додекаэдра с выделенным циклом Гамильтона Гамильтонов граф в теории графов это граф, содержащий гамильтонову цепь или гамильтонов цикл. Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) путь (цепь), содержащий каждую вершину графа ровно один раз.… …   Википедия

  • ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ — в квантовой механике изучает схемы конкретных реализаций квантовых наблюдаемых как самосопряжённых операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и состояний как векторов этого пространства. Традиц. построение аппарата квантовой механики,… …   Физическая энциклопедия

  • ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ — (статистическая теория возмущений) метод приближённого регулярного вычисления свободной энергии (или к. л. др. термодинамич. величины) физ. системы, аналогичный возмущений теории для энергии осн. состояния в квантовой механике. Построение Т. т. в …   Физическая энциклопедия

  • Дуга (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

  • Цикл (теория графов) — Здесь собраны определения терминов из теории графов. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф …   Википедия

  • Поля теория —         математическая теория, изучающая свойства скалярных, векторных (в общем случае тензорных) полей, т. е. областей пространства (или плоскости), каждой точке М которых поставлено в соответствие число u (М) (например, температура, давление,… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ ТЕОРИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»