Всюду плотное множество

Пло́тное мно́жество — подмножество, точками которого можно приблизить любую точку объемлющего пространства.

Определения

• Пусть даны топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$ и два подмножества $A,B\subset X.$ Тогда множество A называется плотным во множестве B, если любая окрестность любой точки B содержит хотя бы одну точку из A, то есть

$\forall x \in B \; \forall U\in \mathcal{T}\quad \bigl(x \in U\bigr) \Rightarrow \bigl(U \cap A \neq \emptyset\bigr).$

• Множество A называется всюду плотным, если оно плотно в X.

Замечание

Приведённое выше определение плотности множества эквивалентно любому из нижеперечисленных:

• Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда замыкание A содержит B, то есть $\bar{A} \supset B$ В частности, A всюду плотно, если $\bar{A} = X$.
• Множество A плотно в B тогда и только тогда, когда внутренность дополнения к A не пересекается с B, то есть $\left(A^{\complement}\right)^0 \cap B = \emptyset$. В частности, A всюду плотно, если $\left(A^{\complement}\right)^0 = \emptyset$.

Примеры

• Любое множество плотно в себе.
• Множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ плотно в пространстве вещественных чисел $\mathbb{R}$.

См. также

• Нигде не плотное множество
• Сепарабельное пространство

Ссылки