Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Другое определение:
Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$. Параметризованное семейство $\{X_t\}_{t\in T}$ случайных величин

$X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T$,

где $T$ произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология

• Если $T \subset \mathbb{R}$, то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция $\{X_t\}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T \subset \mathbb{N}$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если $T \subset \mathbb{R}^n$, где $n \geqslant 1$, то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин "случайный процесс" часто используется как безусловный синоним термина "случайная функция".

Классификация

• Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t₁, t₂,…, число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_1, t_2, \ldots, t_n$, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом ^[1].
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора $t_1, t_2, ..., t_n$, где $n>2$, а $t_1<t_2<...<t_n$, случайные величины $(X_{t_2}-X_{t_1})$, $(X_{t_3}-X_{t_2})$, $...$, $(X_{t_n}-X_{t_{n-1}})$ независимы.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$. Тогда для каждого фиксированного $t\in T$ $X_t$ — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$, то $X_t:T \to \mathbb{R}$ — детерминистическая функция параметра $t$. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции $\{X_t\}$.

Примеры

• $\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$, где $\;X_i \sim \mathrm{N}(0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, и $Y$ — случайная величина. Тогда

$X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)$

является случайным процессом.

Примечания

1. ↑ Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Источники

• А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
• С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.