Принцип наименьшего принуждения

Принцип наименьшего принуждения, или принцип Гаусса, состоит в том, что в каждый момент времени истинное движение системы, находящейся под действием активных сил и подчиненной идеальным связям, отличается от всех кинематически возможных движений, совершающихся из той же начальной конфигурации и с теми же начальными скоростями, тем свойством, что для истинного движения мера отклонения от свободного движения, то есть принуждение, есть минимум.

Обоснование

Рис.1

Пусть точка механической системы с массой $m_{i}$ в момент времени $t_{0}$ находится в положении $M_{i}$. При свободном движении точка за очень малый промежуток $\tau$ пройдет расстояние $M_{i}A_{i}=\mathbf{v}_{i}\tau$ (см. Рис.1), где $v_{i}$ — скорость точки в момент времени $t_0$. Если же на точку будет действовать активная сила $F_i$, точка под воздействием этой силы совершит перемещение $\overline{M_{i}B_{i}}$. Разложим в ряд по времени вектор перемещения. Будем иметь:

$r(t_{0}+\tau)=r(t_{0})+r^{'}(t_{0})\tau+\frac{1}{2}r^{''}(t_{0})\tau^{2}+...$

Но

$r^{'}(t_{0})=v, r^{''}(t_{0})=\varpi=\frac{\mathbf{F_{i}}}{m_{i}}$

Поэтому это перемещение с точностью до малых третьего порядка будет равно:

$\overline{M_{i}B_{i}}=\mathbf{v}_{i}\tau+\frac{1}{2}\frac{\mathbf{F_{i}}}{m_{i}}\tau^{2}$

Если же на точку наложить связи, то ее перемещение по действием силы $F_{i}$ и при наличии связей будет с точностью до малых третьего порядка равно:

$\overline{M_{i}C_{i}}=\mathbf{v}_{i}\tau+\frac{1}{2}\mathbf{\varpi_{\mathrm{i}}}\tau^{2}$ ,

где $\mathbf{\varpi_{\mathrm{i}}}$ ускорение точки. Тогда отклонение точки от свободного движения будет представлено вектором $\overline{B_{i}C_{i}}$. Очевидно, что

$\overline{B_{i}C_{i}}=\overline{M_{i}C_{i}}-\overline{M_{i}B_{i}}=\frac{1}{2}\tau^{2}(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{\mathrm{i}}}}-\frac{\mathbf{F_{i}}}{m_{i}})$

с точностью до малых третьего порядка. За меру отклонения точки от свободного движения Гаусс принял величину, пропорциональную квадрату отклонения $\overline{B_{i}C_{i}}$, которую называют принуждением. Принуждение выражается следующим образом:

$\Xi\omega=\frac{1}{2}m_{i}(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{\mathrm{i}}}}-\frac{\mathbf{F_{i}}}{m_{i}})^{2}$

Просуммировав принуждения для всех точек системы, получим:

$\Xi\omega=\overset{}{\overset{N}{\underset{i=1}{\sum}}}\frac{1}{2}m_{i}(\overset{\cdot\cdot}{\mathbf{r_{\mathrm{i}}}}-\frac{\mathbf{F_{i}}}{m_{i}})^{2}$

Из указанного в начале статьи определения следует, что для истинного принуждения

$\delta\Xi\omega=0$

причем вариация берется только по ускорению, а координаты и скорости остаются неизменными. Вариацию такого рода называют гауссовой вариацией.

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью.