Лемма Бёрнсайда

В теории групп лемма Бёрнсайда связывает количество орбит в подгруппе симметрической группы с цикловой структурой элементов этой подгруппы. Существует несколько вариантов леммы: упрощенный, весовой, ограниченный и т. д. Лемма Бёрнсайда лежит в основе доказательства теоремы Редфилда — Пойа.

Упрощенный вид

Пусть $G$ — конечная группа, действующая на множестве $X$. Для любого элемента $g$ из $G$ будем обозначать через $X^g$ множество элементов $X$, оставляемых на месте $g$. Лемма Бёрнсайда даёт формулу числа орбит группы $G$, обозначаемого $|X/G|$:

$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|.$

Число орбит (натуральное число или бесконечность) равно среднему количеству точек, оставляемых на месте элементом из $G$.

Доказательство

Доказательство основано на подсчёте числа элементов одного множества двумя способами:

$\sum_{g \in G}|X^g| = |\{(g,x)\in G\times X \mid g\cdot x = x\}| = \sum_{x \in X} |G_x| =$

$= \sum_{x \in X} \frac{|G|}{|Gx|} = |G| \sum_{x \in X}\frac{1}{|Gx|} = |G|\sum_{A\in X/G}\sum_{x\in A} \frac{1}{|A|} =$

$= |G| \sum_{A\in X/G} 1 = |G| \cdot |X/G|.$

Весовой вид

$um_{j=1}^{N(G)}W({O}^j)=|G|^{-1}\sum_{\pi\in G}\sum_{a=\pi(a)}\omega(a),$

где $W({O}^j)$ — вес орбиты $O^j$ (вес любого её представителя), $\omega(a)$ — вес элемента.

История открытия

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

Литература

• Burnside, William Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.