Симметрическая группа

Граф Кэли симметрической группы S₄

Таблица Кэли симметрической группы S₃
(таблица умножения матриц перестановок)

Имеются следующие позиции шести матриц:
Как видно, таблица не симметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.

Симметрической группой множества X называется группа всех перестановок X (то есть биекций X →X) относительно операции композиции.

Симметрическая группа множества X обычно обозначается S(X). Если X = {1, 2,…, n}, то S(X) также обозначается через S_n.

Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка $id$, определяемая как тождественное отображение:

$id(x)=x$ для всех x из X.

Связанные определения

• Подгруппа симметрической группы S(X) называется группой перестановок (подстановок) X^[1].
• Коммутантом S_n является знакопеременная группа A_n.

Свойства

• При $n \geq 3$ симметрическая группа S_n некоммутативна.
• При $n \geq 5$ симметрическая группа S_n является неразрешимой (и напротив: при $n \leq 4$ — разрешимой).
• В случае, если X конечно, число элементов S(X) равно n! (факториал n), где n — число элементов X. В частности, $|S_n| = n!.$
• Каждая конечная группа G изоморфна некоторой подгруппе группы S(G) (теорема Кэли).
• Симметрическая группа S_n допускает следующее задание:

  $\langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|>1\rangle.$

(Можно считать, что $\sigma_i$ переставляет i и i+1.)

См. также

• PQ дерево — структура данных, используемая для представления симметрической группы.

Примечания

1. ↑ Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.