Высота треугольника

Высота треугольника
Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника

Содержание

Свойства

Triangle.Orthocenter.svg
  • Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. — Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:
\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{EB}\cdot\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{EC}\cdot\overrightarrow{AB} = 0

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EB} - \overrightarrow{EA},\,\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{EC} - \overrightarrow{EB},\,\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{EA} - \overrightarrow{EC}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

  • Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
  • Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
  • При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.

Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

Основные соотношения

  • h_a=b \sin \gamma=c \sin \beta,
  • h_a=\frac{2S}{a},

где S — площадь треугольника, a — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.

h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2},

где c — основание.

  • h=\frac{a\sqrt 3}{2} — высота в равностороннем треугольнике.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника

Если высота длиной h, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c на отрезки m и n, соответствующие b и a, то верны следующие равенства:

  • h^2=nm
  • a^2=cn; b^2=cm
  • hc=ab

Мнемоническое стихотворение

Высота
похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом.

См. также

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "Высота треугольника" в других словарях:

  • ВЫСОТА — ВЫСОТА, высоты, мн. высоты, высот, жен. 1. только ед. Протяжение снизу вверх, вышина. Высота дома. Башня большой высоты. || (мн. только спец. научн.). Расстояние от земной поверхности, измеряемое по вертикальной линии снизу вверх. Аэроплан летал… …   Толковый словарь Ушакова

  • Высота (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Высота (значения). Высота в элементарной геометрии  отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или на… …   Википедия

  • высота — ы/; мн. высо/ты; ж. см. тж. высотка, высотный 1) Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. Высота/ дома, дерева, горы. Высота/ волны. Плотина высотой в сто пят …   Словарь многих выражений

  • высота — ы; мн. высоты; ж. 1. Величина, протяжённость чего л. от нижней точки до верхней, снизу вверх. В. дома, дерева, горы. В. волны. Плотина высотой в сто пятьдесят метров. Измерить, определить высоту чего л. 2. Расстояние от какой л. поверхности до… …   Энциклопедический словарь

  • высота исходного треугольника резьбы — (H) Расстояние между вершиной и основанием исходного треугольника резьбы в направлении, перпендикулярном к оси резьбы. [ГОСТ 11708 82 (СТ СЭВ 2631 80)] Тематики нормы взаимозаменяемости Обобщающие термины основные элементы и параметры резьбы EN… …   Справочник технического переводчика

  • Высота (значения) — Высота  размер или расстояние в вертикальном направлении. Другие значения: В астрономии: Высота светила  угол между плоскостью математического горизонта и направлением на светило. В военном деле: Высота  возвышенность рельефа. В… …   Википедия

  • ВЫСОТА (в геометрии) — ВЫСОТА, в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а… …   Энциклопедический словарь

  • ВЫСОТА — в геометрии отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (напр., треугольника, пирамиды, конуса) на ее основание (или продолжение основания), а также длина этого отрезка. Высота призмы, цилиндра, шарового слоя, а также… …   Большой Энциклопедический словарь

  • ВЫСОТА — ВЫСОТА, ы, мн. оты, от, отам, жен. 1. Величина, протяжённость чего н. от нижней точки до верхней. В. кирпичной кладки. В. прибоя. В. циклона. 2. Пространство, расстояние от земли вверх. Смотреть в высоту. Самолёт набирает высоту. Лететь на… …   Толковый словарь Ожегова

  • Высота (геометрич.) — Высота в геометрии, отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины геометрической фигуры (например, треугольника, пирамиды, конуса) на её основание или продолжение основания, а также длина этого отрезка. В. призмы, цилиндра, шарового слоя,… …   Большая советская энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»