Ортотреугольник

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) треугольника ∆ABC — треугольник, вершины которого являются основаниями высот ∆ABC.

Свойства

• Задача Фаньяно. Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
• Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).
• Если точки A₁, B₁ и C₁ на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что

$\angle BA_1 C_1 = \angle CA_1 B_1$ , $\angle CB_1 A_1 = \angle AB_1 C_1$ и $\angle AC_1 B_1 = \angle BC_1 A_1$,

то $A_1 B_1 C_1$ — ортотреугольник треугольника ABC.

• Точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, и в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника.

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 тт. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0

См. также

Теорема Фаньяно

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставить интервики в рамках проекта Интервики. Добавить иллюстрации.