Вариация (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Вариация.

Вариация (от лат. variation — перемена, изменение) — термин, введённый в математику Ж. Л. Лагранжем в 1762 году в работе «Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines»^[1] для обозначения малого смещения независимого переменного или функционала.

Понятие «вариация» было введено в рамках метода вариаций исследования экстремальных задач, основанного на малых смещениях аргумента и изучения того, как в зависимости от них изменяются функционалы. Этот метод является одним из основных методов при решении задач на экстремум (отсюда и название раздела математики, изучающего данную проблематику — «Вариационное исчисление»).

Связанные определения

Рассмотрим некоторое пространство $X$, на котором задан функционал $f(x)$, и $V$ — пространство некоторых параметров. Под вариацией аргумента $x_0\in X$, понимают обычно кривую $x(t,\;v)$, где $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ при $\alpha\leqslant 0$, $\beta\geqslant 0$ и $v\in V$, в пространстве $X$, проходящую через $x_0$ в определенной близости от ограничений, причём $x_0$ соответствует значение $t=0$. Таким образом, когда $v$ пробегает множество всех параметров, вариации пробегают определённое семейство кривых, исходящих из точки $x_0$.

В конечномерном и бесконечномерном анализе, начиная с первой работы Ж. Лагранжа, обычно применяются вариации по направлениям, когда $V=X$ и $x(t,\;v)=x_0+tv$. В этом случае вариацией называется вектор $v$. Но это не единственный случай вариаций, так в геометрии, в вариационном исчислении и в особенности в теории оптимального управления применяются, например, ломаные вариации, игольчатые вариации^[2], вариации, связанные со скользящими режимами^[3].

Выбор пространства вариаций и построение самих вариаций является важнейшим элементом для получения необходимых условий экстремума.

См. также

• Вариационное исчисление
• Вариация функционала
• Вариация функции
• Вариация Гато
• Вариация Фреше
• Функциональная производная

Примечания

1. ↑ Lagrange J. Essai d’une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrates indéfines. Turin, 1762
2. ↑ Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. — пер. с англ. — М., 1950
3. ↑ Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов. — 2 изд. — М., 1969