Квантовая теория поля это:

Квантовая теория поля

Ква́нтовая тео́рия по́ля (КТП) — раздел физики, изучающий поведение квантовых систем с бесконечно большим числом степеней свободы — квантовых (или квантованных) полей; является теоретической основой описания микрочастиц, их взаимодействий и превращений. Именно на квантовой теории поля базируется вся физика высоких энергий, физика элементарных частиц и физика конденсированного состояния. Квантовая теория поля в виде Стандартной модели (с добавкой масс нейтрино) сейчас является единственной экспериментально подтверждённой теорией, способной описать и предсказать поведение элементарных частиц при высоких энергиях (то есть при энергиях, существенно превышающих их энергию покоя).

Математический аппарат КТП — гильбертово пространство состояний (пространство Фока) квантового поля и действующие в нём операторы. В отличие от квантовой механики, «частицы» как некие неуничтожимые элементарные объекты в КТП отсутствуют. Вместо этого основные объекты здесь — векторы фоковского пространства, описывающие всевозможные возбуждения квантового поля. Аналогом квантовомеханической волновой функции в КТП является полевой оператор (точнее, «поле» — это операторнозначная обобщённая функция, из которой только после свёртки с основной функцией получается оператор, действующий в гильбертовом пространстве состояний), способный действовать на вакуумный вектор фоковского пространства (см. вакуум) и порождать одночастичные возбуждения квантового поля. Физическим наблюдаемым здесь также соответствуют операторы, составленные из полевых операторов[стиль!].

Именно на квантовой теории поля базируется вся физика элементарных частиц.

При построении квантовой теории поля ключевым моментом было понимание сущности явления перенормировки.

Содержание

История зарождения

Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера — является релятивистски неинвариантным, что видно из несимметричного вхождения времени и пространственных координат в уравнение. В 1926 году было предложено релятивистски инвариантное уравнение для свободной (безспиновой или с нулевым спином) частицы (уравнение Клейна — Гордона — Фока). Как известно, в классической механике (включая нерелятивистскую квантовую механику) энергия (кинетическая, поскольку потенциальная предполагается нулевой) и импульс свободной частицы связаны соотношением E=p^2/2m. Релятивистское соотношение энергии и импульса имеет вид E^2=p^2c^2+m^2c^4. Предполагая, что оператор импульса в релятивистском случае такой же, как и в нерелятивистской области, и используя данную формулу для построения релятивистского гамильтониана по аналогии, получим уравнение Уравнение Клейна — Гордона:

{\hbar^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}={\hbar^2}{c^2} \mathbf{\nabla}^2\psi-{m^2c^4}\psi   или   \mathbf{\nabla}^2\psi-\frac{\partial^2\psi}{\partial {(ct)^2}}= \frac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi 

или, кратко, используя вдобавок естественные единицы \hbar=c=1:

    (\square\ - m^2) \psi = 0 ,    где  \square\ оператор Д’Аламбера.

Однако проблема данного уравнения заключается в том, что волновую функцию здесь сложно интерпретировать как амплитуду вероятности хотя бы потому, что — как можно показать — плотность вероятности не будет положительно определенной величиной.

Несколько иное обоснование имеет уравнение Дирака, предложенное им в 1928 году. Дирак пытался получить дифференциальное уравнение первого порядка, в котором обеспечено равноправие временной координаты и пространственных координат. Поскольку оператор импульса пропорционален первой производной по координатам, то гамильтониан Дирака должен быть линейным по оператору импульса.

H_D=mc^2 \alpha_0 +  c \boldsymbol{\alpha}\cdot \mathbf{\hat{p}}

и с учетом формулы связи энергии и импульса, на квадрат этого оператора налагаются ограничения, а значит и на "коэффициенты"\alpha — их квадраты должны быть равны единице и они должны быть взаимно антикоммутативны. Таким образом, это точно не могут быть числовые коэффициенты. Однако, они могут быть матрицами, причем размерности не менее 4, а "волновая функция" — четырехкомпонентным объектом, получившим название биспинора. В таком случае уравнение Дирака формально имеет вид, идентичный уравнению Шредингера (с гамильтонианом Дирака).

Однако данное уравнение, впрочем как и уравнение Клейна — Гордона, имеет решения с отрицательными энергиями. Данное обстоятельство явилось причиной для предсказания античастиц, что позже и было подтверждено экспериментально (открытие позитрона). Наличие античастиц есть следствие релятивистского соотношения между энергией и импульсом.

Одновременно к концу 20-х годов был разработан формализм квантового описания многочастичных систем (включая системы с переменным числом частиц), основанного на операторах рождения и уничтожения частиц. Квантовая теория поля оказывается также основанной на этих операторах (выражается через них).

Уравнения Клейна — Гордона и Дирака следует рассматривать как уравнения для полевых операторных функций, действующих на вектор состояния системы квантовых полей, удовлетворяющих уравнению Шрёдингера.

Сущность квантовой теории поля

Лагранжев формализм

В классической механике с помощью лагранжева формализма можно описать многочастичные системы. Лагранжиан многочастичной системы равен сумме лагранжианов отдельных частиц. В теории поля аналогичную роль может играть лагранжева плотность (плотность лагранжиана) в данной точке пространства. Соответственно лагранжиан системы (поля) будет равен интегралу от плотности лагранжиана по трехмерному пространству. Действие, как и в классической механике, предполагается равным интегралу от лагранжиана по времени. Следовательно, действие в теории поля можно рассматривать как интеграл от плотности лагранжиана по четырехмерному пространству-времени. Соответственно можно применить принцип наименьшего (стационарного) действия к этому четырехмерному интегралу и получить уравнения движения для поля — уравнения Эйлера-Лагранжа. Минимальное требование к лагранжиану (лагранжевой плотности) — релятивистская инвариантность. Второе требование — лагранжиан не должен содержать производных полевой функции выше первой степени, чтобы уравнения движения получались "правильными" (соответствовали классической механике). Есть также и иные требования (локальность, унитарность и др.). Согласно теореме Нётер инвариантность действия относительно k-параметрических преобразований, приводит к k динамическим инвариантам поля, то есть к законам сохранения. В частности инвариантность действия относительно трансляций (сдвигов) приводит к сохранению 4-импульса.

Пример: Скалярное поле c лагранжианом L_s=\frac{1}{2}{\partial_\mu}{\psi(x)}{\partial^\mu}{\psi(x)}-\frac{m^2}{2}{\psi^2(x)}

Уравнения движения для данного поля приводят к уравнению Клейна-Гордона. Для решения этого уравнения полезно перейти к импульсному представлению через преобразование Фурье. Из уравнения Клейна-Гордона нетрудно видеть, что коэффициенты Фурье будут удовлетворять условию

(k^2-m^2)\tilde{\psi}(k)=0 ~~ \Rightarrow  \tilde{\psi}(k)=\sqrt{ 2 \pi }\delta (k^2-m^2)\psi(k)~, где ~~\psi(k)~ — произвольная функция

Дельта-функция устанавливает связь между частотой (энергией) k_0, волновым вектором (вектором импульса) \overrightarrow k и параметром (массой) m: k_0=\pm \sqrt {\overrightarrow{k}^2+m^2}. Соответственно для двух возможных знаков имеем два независимых решения в импульсном представлении (интеграл Фурье)

\psi^{\pm}(x)=\frac {1}{{(2 \pi)}^{3/2}} \int \delta (k^2-m^2)\psi^{\pm}(k)e^{\pm ikx}dk=\frac {1}{{(2 \pi)}^{3/2}} \int a^{\pm}(\overrightarrow k)e^{\pm ikx}\frac {d\overrightarrow k} {\sqrt{2k_0}}~,~~~~a^{\pm}(\overrightarrow k)=\psi^{\pm}(k)/\sqrt{2k_0}~,~~~~  \psi(x)=\psi^+(x)+\psi^-(x)

Можно показать, что вектор импульса будет равен

P^\nu =\frac {1} {2} \int (a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k)+a^-(\overrightarrow k)a^+(\overrightarrow k))k^\nu d\overrightarrow k =\int a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k)k^\nu d\overrightarrow k

Следовательно, функцию n(\overrightarrow k)=a^+(\overrightarrow k)a^-(\overrightarrow k) можно интерпретировать как среднюю плотность частиц с масоой m, импульсом \overrightarrow  k и энергией k_0=\sqrt {\overrightarrow {k}^2+m^2}. После квантования эти произведения превращаются в операторы, имеющие целочисленные собственные значения.

Квантование поля. Операторы рождения и уничтожения квантов

Квантование означает переход от полей к операторам, действующим на вектор (амплитуду) состояния Φ. По аналогии с обычной квантовой механикой вектор состояния полностью характеризует физическое состояние системы квантованных волновых полей. Вектор состояния — это вектор в некотором линейном пространстве.

Основной постулат квантования волновых полей заключается в том, что операторы динамических переменных выражаются через операторы полей таким же образом, что и для классических полей (с учетом порядка перемножения)

Для квантового гармонического осциллятора получена известная формула квантования энергии E_n={\hbar} {\omega}(n+1/2). Собственные функции, соответствующие указанным собственным значениям гамильтониана, оказываются связанными друг с другом некоторыми операторами {\hat{a}}^+{\psi}_n={\sqrt{n+1}}{\psi}_{n+1} — повышающий оператор, {\hat{a}}{\psi}_n={\sqrt{n}}{\psi}_{n-1} — понижающий оператор. Следует отметить, что эти операторы некоммутативны (их коммутатор равен единице). Применение повышающего или понижающего оператора увеличивает квантовое число n на единицу и приводит к одинаковому увеличению энергии осциллятора (эквидистантность спектра), что можно интерпретировать как рождение нового или уничтожение кванта поля с энергией {\hbar} {\omega}. Именно такая интерпретация позволяет использовать вышеприведенные операторы, как операторы рождения и уничтожения квантов данного поля. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается через указанные операторы следующим образом H={\hbar\omega}{(\hat{n}+1/2)}, где {\hat{n}}{\psi}_n={\hat{a}}^+{\hat{a}}оператор числа квантов поля. Как нетрудно показать {\hat{n}}{\psi}_n=n{\psi}_n — то есть, собственные значения этого оператора — число квантов. Любое n-частичное состояние поля может быть получено действием операторов рождения на вакуум

{\psi}_n=\frac{(\hat{a}^+)^n}{\sqrt{n!}}\psi_0

Для вакуумного состояния результат применения оператора уничтожения равен нулю (это можно принять за формальное определение вакуумного состояния).

В случае N осцилляторов гамильтониан системы равен сумме гамильтонианов индивидуальных осцилляторов. Для каждого такого осциллятора можно определить свои операторы рождения \hat{a}^+_k, k=1,...,N. Следовательно произвольное квантовое состояние такой системы может быть описано с помощью чисел заполнения n_k — количества операторов данного сорта k, действующих на вакуум:

\psi(n_1,...,n_N)=\prod_{(k)}{\frac{(\hat{a_k}^+)^{n_k}}{\sqrt{n_k!}}}\psi_0

Такое представление называют представлением чисел заполнения. Суть данного представления заключается в том, чтобы вместо задания функции \psi функции от координат (координатное представление) или как функцию от импульсов (импульсное представление), состояние системы характеризуется номером возбужденного состояния — числом заполнения.

Можно показать, что, например, скалярное поле Клейна-Гордона может быть представлено как совокупность осцилляторов. Разлагая полевую функцию в бесконечный ряд Фурье по трехмерному вектору импульса можно показать, что из уравнения Клейна-Гордона следует, что амплитуды разложения удовлетворяют классическому дифференциальному уравнению второго порядка для осциллятора с параметром (частотой) \omega_k =\sqrt {\overrightarrow k^2+m^2}. Рассмотрим ограниченный куб V=L^3 и наложим условие периодичности по каждой координате с периодом L.Условие периодичности приводит к квантованию допустимых импульсов и энергии осциллятора:

\overrightarrow k (n)= \frac {2 \pi}{L}(n_1, n_2, n_3)~~~,~~~\omega_n^2=m^2+\frac {4\pi^2} {L^2} n^2

Операторы поля, операторы динамических переменных

Фоковское представление

Квантование по Бозе-Эйнштейну и Ферми-Дираку. Связь со спином.

Коммутационные соотношения Бозе-Эйнштейна основаны на обычном коммутаторе (разность "прямого" и "обратного" произведения операторов), а коммутационные соотношения Ферми-Дирака — на антикоммутаторе (сумма "прямого" и "обратного" произведения операторов). Кванты первых полей подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна и называются бозонами, а кванты вторых подчиняются статистике Ферми-Дирака и называются фермионами. Квантование полей по Бозе-Эйнштейну оказывается непротиворечивым для частиц с целым спином, а для частиц с полуцелым спином непротиворечивым оказывается квантование по Ферми—Дираку. Таким образом, фермионы являются частицами с полуцелым спином, а бозоны — с целым.

S-матричный формализм. Диаграммы Фейнмана

Проблема расходимостей и пути их решения

Аксиоматическая квантовая теория поля


См. также

Литература



Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Квантовая теория поля" в других словарях:

  • Квантовая теория поля —          Квантовая теория поля квантовая теория систем с бесконечным числом степеней свободы (полей физических (См. Поля физические)). К. т. п., возникшая как обобщение квантовой механики (См. Квантовая механика) в связи с проблемой описания… …   Большая советская энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — (КТП), релятивистская квант. теория физ. систем с бесконечным числом степеней свободы. Пример такой системы эл. магн. поле, для полного описания к рого в любой момент времени требуется задание напряжённостей электрич. и магн. полей в каждой точке …   Физическая энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ. Содержание:1. Квантовые поля ................. 3002. Свободные поля и корпускулярно волновой дуализм .................... 3013. Взаимодействие полей .........3024. Теория возмущений ............... 3035. Расходимости и… …   Физическая энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — релятивистская Квантовая теория физических систем с бесконечным числом степеней свободы (релятивистских полей). Квантовая теория поля является основным аппаратом физики элементарных частиц, их взаимодействий и взаимопревращений. Включает теорию… …   Большой Энциклопедический словарь

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — (КТП), релятивистская квантовая теория физических систем с бесконечным числом степеней свободы; основной аппарат физики элементарных частиц, их взаимодействий и взаимопревращений. Включает теорию электромагнитного (квантовую электродинамику) и… …   Современная энциклопедия

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ, теория, охватывающая все элементарные частицы и взаимодействия между ними. Представляет собой результат приложения КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ к системам с бесконечным числом степеней свободы. Каждый тип частиц характеризуется… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • квантовая теория поля — релятивистская квантовая теория физических систем с бесконечным числом степеней свободы (релятивистских полей). Квантовая теория поля является основным аппаратом физики элементарных частиц, их взаимодействий и взаимопревращений. Включает теорию… …   Энциклопедический словарь

  • квантовая теория поля — kvantinė lauko teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. quantized field theory; quantum field theory vok. Quantenfeldtheorie, f; Quantentheorie der Wellenfelder, f rus. квантовая теория волновых полей, f; квантовая теория поля, f pranc …   Fizikos terminų žodynas

  • КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ — теория релятивистских квантовых систем. Возникновение К. т. п. связано с задачами о взаимодействии вещества с излучением и с попытками построения релятивистской квантовой механики [П. Дирак (P.A.M. Dirac, 1927), В. Гейзенберг (W. Heisenberg), В.… …   Математическая энциклопедия

  • Квантовая теория поля — релятивистская квантовая теория физических взаимодействий микрообъектов, посредством 1) квантов электромагнитного поля (квантовая электродинамика), 2) квантов слабого (обусловливающего распад микрообъектов) взаимодействия, объединенных в… …   Начала современного естествознания

Книги

  • Квантовая теория поля, Д. Я. Петрина. В пособии изложена теория классических и квантованных полей. Изучены свободные квантованные поля как операторы в пространствах состояний, построены представления канонических коммутационных и… Подробнее  Купить за 946 руб
  • Квантовая теория поля, Петрина Д.Я.. В пособии изложена теория классических и квантованных полей. Изучены свободные квантованные поля как операторы в пространствах состояний, построены представления канонических коммутационных и… Подробнее  Купить за 745 руб
  • Квантовая теория поля, Д. Я. Петрина. В пособии изложена теория классических и квантованных полей. Изучены свободные квантованные поля как операторы в пространствах состояний, построены представления канонических коммутационных и… Подробнее  Купить за 541 руб
Другие книги по запросу «Квантовая теория поля» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»