Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе, но в отличие от операции дифференцирования она выводит из множества элементарных функций. Из теоремы Лиувилля следует, например, что интеграл от $e^{x^2}$ не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных. Более полный список можно найти в списке интегралов.

$C$ использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

Основная статья: Список интегралов от рациональных функций

$~\int\!0\, dx = C$

$~\int\!a\,dx = ax +C$

$~\int\!x^n\,dx = \begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, & n \ne -1 \\ \ln \left|x \right| + C, & n=-1\end{cases}$

$\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operatorname{arcctg}\,\frac{x}{a} + C$

Доказательство  

Продифференцируем правую часть:

${d \over dx}\, \left ({1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac {x} {a} + C \right )= {d \over dx}\, \left ({1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac {x} {a} \right )= \frac {1} {a} \cdot {d \over d \left ({x \over a} \right ) }\left ( \operatorname{arctg} \frac {x} {a} \right )\cdot {d \over dx} \left ({x \over a} \right ) = \frac {1} {a} \cdot \frac {1} {1+\frac {x^2} {a^2} } \cdot \frac {1} {a} = \frac {1} {a^2 \cdot \frac {a^2+x^2} {a^2}} = \frac {1} {a^2+x^2}$

$\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C$

Логарифмы

Основная статья: Список интегралов от логарифмических функций

$\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C$

$\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C$

Экспоненциальные функции

Основная статья: Список интегралов от экспоненциальных функций

$\int\!e^x\,dx = e^x + C$

$\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Иррациональные функции

Основная статья: Список интегралов от иррациональных функций

$\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C$

$\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C$

$\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arcsec}\,{|x| \over a} + C$

$\int\!{dx \over \sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2\pm a^2}}\right| + C$

Тригонометрические функции

Основные статьи: список интегралов от тригонометрических функций, список интегралов от обратных тригонометрических функций

$\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int\!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

Доказательство  

$\int \!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

$\int\!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

Доказательство  

$\int \!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x} = \ln | \sin x | + C$

$\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C$

$\int\!\csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \operatorname{ctg}\,{x}\right|} + C$

$\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C$

$\int\!\csc^2 x \, dx = \int\!{dx \over \sin^2 x} = -\operatorname{ctg}\,x + C$

$\int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int\!\csc{x} \, \operatorname{ctg}\,{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int\!\sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2$

$\int\!\cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2$

$\int\!\operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^2 \right)} + C$

Гиперболические функции

Основная статья: список интегралов от гиперболических функций

$\int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C$

$\int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C$

$\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^2\,x} = \operatorname{th}\,x + C$

$\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^2\,x} = - \operatorname{cth}\,x + C$

$\int \operatorname{th}\,x \, dx = \ln |\operatorname{ch}\,x| + C$

$\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th}\,{x \over2}\right| + C$

$\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{sh}\,x) + C$

также $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C$

также $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

$\int \operatorname{cth}\,x \, dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C$

Доказательства  

Доказательство формулы $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = \arctan(\operatorname{sh}\,x) + C$ выполним проверкой:

$\left(\operatorname{arctg}(\operatorname{sh}\,x\right) + C)' = \frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{sh}^2\,x + 1} = \frac{\operatorname{ch}\,x}{\operatorname{ch}^2\,x - 1 + 1} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$.

Доказательство формулы $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\operatorname{arctg}(e^x) + C$ выполним проверкой:

$\left(2\operatorname{arctg}(e^x) + C\right)' = \frac{2 e^x}{e^{2x} + 1} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$.

Доказательство формулы $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$ выполним проверкой:

$\left(2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C\right)' = \frac{\operatorname{sech}^2\frac{x}{2}}{\operatorname{th}^2\frac{x}{2} + 1} = \frac{1}{\operatorname{sh}^2\frac{x}{2}+\operatorname{ch}^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{\operatorname{ch}\,x} = \operatorname{sech}\,x$.

См. также

• Таблица производных

Литература

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е издание. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов. — 5-е издание. — М.: Наука, 1977.

Ссылки

• Интегралы на EqWorld
• Онлайн калькулятор интегралов