Тригонометрические функции

Запрос «sin» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «sec» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Синус» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Рис. 1
Графики тригонометрических функций:      синуса      косинуса      тангенса      котангенса      секанса      косеканса

Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе (или, что эквивалентно, зависимость хорд и высот от центрального угла в круге). Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число. Наука, изучающая свойства тригонометрических функций, называется тригонометрией.

К тригонометрическим функциям относятся:

прямые тригонометрические функции

• синус (sin x)
• косинус (cos x)

производные тригонометрические функции

• тангенс (tg x)
• котангенс (ctg x)

другие тригонометрические функции

• секанс (sec x)
• косеканс (cosec x)

В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x.

Кроме этих шести, существуют также некоторые редко используемые тригонометрические функции (версинус и т.д.), а также обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус и т. д.), рассматриваемые в отдельных статьях.

Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции на вещественной оси также вещественнозначные, периодические и неограниченно дифференцируемые на области определения, но не непрерывные. Тангенс и секанс имеют разрывы второго рода в точках ±πn + π/2, а котангенс и косеканс — в точках ±πn.

Способы определения

Геометрическое определение

Рис. 2
Определение тригонометрических функций

Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости, и построена окружность радиуса R с центром в начале координат O. Измерим углы как повороты от положительного направления оси абсцисс до луча OB. Направление против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке отрицательным. Абсциссу точки В обозначим x_B, ординату обозначим y_B (см. рисунок).

• Синусом называется отношение $\sin\alpha=\frac{y_B}{R}.$
• Косинусом называется отношение $\cos\alpha=\frac{x_B}{R}.$
• Тангенс определяется как $\operatorname{tg}\,\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y_B}{x_B}.$
• Котангенс определяется как $\operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{x_B}{y_B}.$
• Секанс определяется как $\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}=\frac{R}{x_B}.$
• Косеканс определяется как $\operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{R}{y_B}.$

Рис. 3
Численные значения тригонометрических функций угла $\alpha$ в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице

Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных фигур. Часто этот радиус принимают равным величине единичного отрезка, тогда синус равен просто ординате y_B, а косинус — абсциссе x_B. На рисунке 3 показаны величины тригонометрических функций для единичной окружности.

Если α — вещественное число, то синусом α в математическом анализе называется синус угла, радианная мера которого равна α, аналогично для прочих тригонометрических функций.

Определение тригонометрических функций для острых углов

Рис. 4
Тригонометрические функции острого угла

Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника. Пусть OAB — треугольник с углом α. Тогда:

• Синусом угла α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе).
• Косинусом угла α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе).
• Тангенсом угла α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему).
• Котангенсом угла α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему).
• Секансом угла α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету).
• Косекансом угла α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету).

Построив систему координат с началом в точке O, направлением оси абсцисс вдоль OA и в случае необходимости изменив ориентацию (перевернув) треугольник так, чтобы он находился в первой четверти системы координат, и затем, построив окружность с радиусом, равным гипотенузе, сразу находим, что такое определение функций приводит к тому же результату, что и предыдущее.

Данное определение имеет некоторое педагогическое преимущество, так как не требует введения понятия системы координат, но также и такой крупный недостаток, что невозможно определить тригонометрические функции даже для тупых углов, которые необходимо знать при решении элементарных задач про тупоугольные треугольники (см.: Теорема синусов, Теорема косинусов).

Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус) и нечётное (синус) решение дифференциального уравнения

$\frac{d^2}{d\varphi^2}R(\varphi) = - R(\varphi),$

с начальными условиями $\cos\left(0\right) = \sin '\left(0\right) = 1$, то есть как функций одной переменной, вторая производная которых равна самой функции, взятой со знаком минус:

$\ \left(\cos x\right)'' = - \cos x,$

$\ \left(\sin x\right)'' = - \sin x.$

Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений

Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{rcl} f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\ g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y) \end{array} \right.$

Определение тригонометрических функций через ряды

Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна косинусу и что производная косинуса равна минус синусу. Тогда можно воспользоваться теорией рядов Тейлора и представить синус и косинус в виде степенны́х рядов:

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!},$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}.$

Пользуясь этими формулами, а также уравнениями $\operatorname{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x},$ $\operatorname{ctg}\,x=\frac{\cos x}{\sin x},$ $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и $\operatorname{cosec}\,x=\frac{1}{\sin x},$ можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:

${\operatorname{tg}\,x=x+\frac{1}{3}\,x^3 + \frac{2}{15}\,x^5 + \frac{17}{315}\,x^7 + \frac{62}{2835}\,x^9 + \cdots = \sum_{n=1}^\infty\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}x^{2n-1} \quad \left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right),}$

${\operatorname{ctg}\,x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \frac{x^7}{4725} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),}$

${\sec x=1+\frac{1}{2}\,x^2+\frac{5}{24}\,x^4+\frac{61}{720}\,x^6+\frac{277}{8064}\,x^8+\cdots = \sum_{n=0}^\infty\frac{|E_{n}|}{(2n)!}\,x^{2n}, \quad \left(-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\right),}$

$\operatorname{cosec} x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}\,x + \frac{7}{360}\,x^3 + \frac{31}{15120}\,x^5 + \frac{127}{604800}\,x^7 + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2(2^{2n-1}-1) |B_{2n}|}{(2n)!}\,x^{2n-1} \quad \left(-\pi < x < \pi\right),$

где

$B_n$ — числа Бернулли,

$E_n$ — числа Эйлера.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых углов приведены в таблице. («∞» означает, что функция в указанной точке не определена, а в её окрестности стремится к бесконечности).

$\alpha \,\!$	0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
$\sin \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	${1}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$
$\cos \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{ \sqrt{3}}{2}\,\!$	$\frac{\sqrt{2}}{2}\,\!$	$\frac{1}{2}\,\!$	${0}\,\!$	${-1}\,\!$	${0}\,\!$	${1}\,\!$
$\mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,\!$	${0} \,\!$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\,\!$	${1}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$
$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,\!$	${\infty}\,\!$	$\sqrt{3}\,\!$	${1} \,\!$	$\frac{\sqrt{3}}{3}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$	${0}\,\!$	${\infty}\,\!$
$\sec \alpha \,\!$	${1} \,\!$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	${2}\,\!$	${\infty}\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty}\,\!$	${1}\,\!$
$\operatorname{cosec}\, \alpha \,\!$	${\infty}\,\!$	${2}\,\!$	$\sqrt{2}\,\!$	$\frac{2 \sqrt{3}}{3}\,\!$	${1}\,\!$	${\infty}\,\!$	${-1}\,\!$	${\infty}\,\!$

Значения косинуса и синуса на окружности.

Значения тригонометрических функций нестандартных углов

$\alpha\,$	$\frac{\pi}{12} = 15^\circ$	$\frac{\pi}{10} = 18^\circ$	$\frac{\pi}{8} = 22{{,}}5^\circ$	$\frac{\pi}{5} = 36^\circ$	$\frac{3\,\pi}{10} = 54^\circ$	$\frac{3\,\pi}{8} = 67{{,}}5^\circ$	$\frac{2\,\pi}{5} = 72^\circ$	$\frac{5\,\pi}{12} = 75^\circ$
$\sin \alpha\,$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}$
$\cos \alpha\,$	$\frac{\sqrt{3}+1}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$	$\frac{\sqrt{5-\sqrt{5}}}{2\,\sqrt{2}}$	$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{5}-1}{4}$	$\frac{\sqrt{3}-1}{2\,\sqrt{2}}$
$\operatorname{tg}\,\alpha$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}$	$2 + \sqrt{3}$
$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$2 + \sqrt{3}$	$\sqrt{5+2\,\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}+1$	$\sqrt{1+\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$\sqrt{5-2\,\sqrt{5}}$	$\sqrt{2}-1$	$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$	$2-\sqrt{3}$

Значения тригонометрических функций прочих углов  

$\sin \frac{\pi}{60} = \cos \frac{29\,\pi}{60} = \sin 3^\circ = \cos 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{\pi}{60} = \sin \frac{29\,\pi}{60} = \cos 3^\circ = \sin 87^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 3^\circ = \operatorname{ctg} 87^\circ = \frac{2(\sqrt{5}+2)-\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{29\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 3^\circ = \operatorname{tg} 87^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{\pi}{30} = \cos \frac{7\,\pi}{15} = \sin 6^\circ = \cos 84^\circ = \frac{\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1}{8},$

$\cos \frac{\pi}{30} = \sin \frac{7\,\pi}{15} = \cos 6^\circ = \sin 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{tg} 6^\circ = \operatorname{ctg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} 6^\circ = \operatorname{tg} 84^\circ = \frac{\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+3)}{2},$

$\sin \frac{\pi}{20} = \cos \frac{9\,\pi}{20} = \sin 9^\circ = \cos 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{\pi}{20} = \sin \frac{9\,\pi}{20} = \cos 9^\circ = \sin 81^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 9^\circ = \operatorname{ctg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{9\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 9^\circ = \operatorname{tg} 81^\circ = {\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{\pi}{15} = \cos \frac{13\,\pi}{30} = \sin 12^\circ = \cos 78^\circ = \frac{\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8},$

$\cos \frac{\pi}{15} = \sin \frac{13\,\pi}{30} = \cos 12^\circ = \sin 78^\circ = \frac{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 12^\circ = \operatorname{ctg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 12^\circ = \operatorname{tg} 78^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},$

$\sin \frac{7\,\pi}{60} = \cos \frac{23\,\pi}{60} = \sin 21^\circ = \cos 69^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{7\,\pi}{60} = \sin \frac{23\,\pi}{60} = \cos 21^\circ = \sin 69^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 21^\circ = \operatorname{ctg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{23\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 21^\circ = \operatorname{tg} 69^\circ = \frac{2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{2\,\pi}{15} = \cos \frac{11\,\pi}{30} = \sin 24^\circ = \cos 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{2\,\pi}{15} = \sin \frac{11\,\pi}{30} = \cos 24^\circ = \sin 66^\circ = \frac{\sqrt{5}+1+\sqrt{6(5-\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 24^\circ = \operatorname{ctg} 66^\circ = \frac{-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{2\,\pi}{15} = \operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 24^\circ = \operatorname{tg} 66^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}}{2},$

$\sin \frac{3\,\pi}{20} = \cos \frac{7\,\pi}{20} = \sin 27^\circ = \cos 63^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\cos \frac{3\,\pi}{20} = \sin \frac{7\,\pi}{20} = \cos 27^\circ = \sin 63^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)+2\sqrt{5+\sqrt{5}}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{tg} 27^\circ = \operatorname{ctg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\operatorname{ctg} \frac{3\,\pi}{20} = \operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{20} = \operatorname{ctg} 27^\circ = \operatorname{tg} 63^\circ = {\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}},$

$\sin \frac{11\,\pi}{60} = \cos \frac{19\,\pi}{60} = \sin 33^\circ = \cos 57^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{11\,\pi}{60} = \sin \frac{19\,\pi}{60} = \cos 33^\circ = \sin 57^\circ = \frac{-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}-1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 33^\circ = \operatorname{ctg} 57^\circ = \frac{-2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5})+(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{11\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{19\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 33^\circ = \operatorname{tg} 57^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}+2)+\sqrt{3}(3+\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+2)\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{13\,\pi}{60} = \cos \frac{17\,\pi}{60} = \sin 39^\circ = \cos 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)-2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\cos \frac{13\,\pi}{60} = \sin \frac{17\,\pi}{60} = \cos 39^\circ = \sin 51^\circ = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)+2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}}{16},$

$\operatorname{tg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{tg} 39^\circ = \operatorname{ctg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)+\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)+2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\operatorname{ctg} \frac{13\,\pi}{60} = \operatorname{tg} \frac{17\,\pi}{60} = \operatorname{ctg} 39^\circ = \operatorname{tg} 51^\circ = \frac{-2(2(\sqrt{5}-2)-\sqrt{3}(3-\sqrt{5}))+(\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-2)\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{4},$

$\sin \frac{7\,\pi}{30} = \cos \frac{8\,\pi}{30} = \sin 42^\circ = \cos 48^\circ = \frac{-(\sqrt{5}-1)+\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\cos \frac{7\,\pi}{30} = \sin \frac{8\,\pi}{30} = \cos 42^\circ = \sin 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{8},$

$\operatorname{tg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{tg} 42^\circ = \operatorname{ctg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{ctg} \frac{7\,\pi}{30} = \operatorname{tg} \frac{8\,\pi}{30} = \operatorname{ctg} 42^\circ = \operatorname{tg} 48^\circ = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{5})+\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}}{2},$

$\operatorname{tg} \frac{\pi}{120} = \operatorname{ctg} \frac{59\,\pi}{120} = \operatorname{tg} 1.5^\circ = \operatorname{ctg} 88.5^\circ = \sqrt{\frac{8-\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})} - \sqrt{ 2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})}}{8+\sqrt{2(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})}+\sqrt{2(2+\sqrt{3})(5+\sqrt{5})} }},$

$\cos \frac{\pi}{240} = \sin \frac{119\,\pi}{240} = \cos 0.75^\circ = \sin 89.25^\circ = \frac{1}{16} \left( \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left(\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}(1-\sqrt{5}) \right) + \right.$ $\left. + \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \left (\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5} - 1 \right) \right),$

$\cos \frac{\pi}{17} = \sin \frac{15\,\pi}{34} = \frac{1}{8}\sqrt{2 \left(2\sqrt{3\sqrt{17}-\sqrt{2(85+19\sqrt{17})} +17}+\sqrt{2(17-\sqrt{17})}+\sqrt{17}+15 \right)}.$

Свойства тригонометрических функций

Простейшие тождества

Основная статья: Тригонометрические тождества

Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α, то, согласно уравнению единичной окружности или теореме Пифагора, имеем:

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.\,$

Это соотношение называется основным тригонометрическим тождеством.

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем далее:

$1 + \mathop{\mathrm{tg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \cos^2 \alpha},\,$

$1 + \mathop{\mathrm{ctg}}\,^2 \alpha = \frac{1}{ \sin^2 \alpha},\,$

$\mathop{\mathrm{tg}}\,\alpha \cdot \mathop{\mathrm{ctg}}\,\alpha=1.$

Непрерывность

Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва $\pm\frac{\pi}{2},\;\pm\frac{3\pi}{2},\;\pm\frac{5\pi}{2},\;\dots;$ котангенс и косеканс — $0,\;\pm\pi,\;\pm2\pi,\;\dots.$

Чётность

Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:

$\sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,,$

$\cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,,$

$\mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,,$

$\mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,$

$\sec \left( - \alpha \right) = \sec \alpha \,,$

$\mathop{\mathrm{cosec}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{cosec}}\, \alpha \,.$

Периодичность

Функции $y = \mathop{\mathrm{sin}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cos}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{sec}}\, x ,\quad y = \mathop{\mathrm{cosec}}\, x$ — периодические с периодом 2π, функции $y = \mathop{\mathrm{tg}} \,x$ и $y = \mathop{\mathrm{ctg}} \,x$ — c периодом π.

Формулы приведения

Формулами приведения называются формулы следующего вида:

$f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),\,$

$f ( n \pi - \alpha ) = \pm f (\alpha),\,$

$f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} + \alpha\right) = \pm g (\alpha),\,$

$f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).\,$

Здесь f — любая тригонометрическая функция, g — соответствующая ей кофункция (то есть косинус для синуса, синус для косинуса, тангенс для котангенса, котангенс для тангенса, секанс для косеканса и косеканс для секанса), n — целое число. Перед полученной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в заданной координатной четверти при условии, что угол α острый, например:

$\cos \left( \frac{ \pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha\,,$

Некоторые формулы приведения:

$\beta\,$	$\frac{\pi}{2} + \alpha$	$\pi + \alpha\,$	$\frac{3\,\pi}{2} + \alpha$	$\frac{\pi}{2} - \alpha$	$\pi - \alpha\,$	$\frac{3\,\pi}{2} - \alpha$	$2\,\pi - \alpha$
$\sin\beta\,$	$\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$\cos\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$
$\cos\beta\,$	$-\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$\sin\alpha\,$	$-\cos\alpha\,$	$-\sin\alpha\,$	$\cos\alpha\,$
$\operatorname{tg}\,\beta$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$
$\operatorname{ctg}\,\beta$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{ctg}\,\alpha$	$-\operatorname{tg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$	$\operatorname{tg}\,\alpha$	$-\operatorname{ctg}\,\alpha$

Формулы сложения

Значения тригонометрических функций суммы и разности двух углов:

$\sin\left( \alpha \pm \beta \right)= \sin\alpha \, \cos\beta \pm \cos\alpha \, \sin\beta,$

$\cos\left( \alpha \pm \beta \right)= \cos\alpha \, \cos\beta \mp \sin\alpha \, \sin\beta,$

$\operatorname{tg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{tg}\,\alpha \pm \operatorname{tg}\,\beta}{1 \mp \operatorname{tg}\,\alpha \, \operatorname{tg}\,\beta},$

$\operatorname{ctg}\left( \alpha \pm \beta \right) = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta \mp 1}{\operatorname{ctg}\,\beta \pm \operatorname{ctg}\,\alpha}.$

Аналогичные формулы для суммы трёх углов:

$\sin \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \alpha \sin \beta \cos \gamma + \cos \alpha \cos \beta \sin \gamma - \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma,$

$\cos \left( \alpha + \beta + \gamma \right) = \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma - \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma - \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma.$

Формулы для кратных углов

Формулы двойного угла:

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha }{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha }{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{2}{\operatorname{tg}\,\alpha + \operatorname{ctg}\,\alpha},$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha\,-\,\sin^2 \alpha = 2 \cos^2 \alpha\,-\,1 = 1\,-\,2 \sin^2 \alpha = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{\operatorname{ctg}^2\alpha + 1} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}\,\alpha + \operatorname{tg}\,\alpha},$

$\operatorname{tg}\,2 \alpha = \frac{2\,\operatorname{tg}\,\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha - 1} = \frac{2}{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,2 \alpha = \frac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2\,\operatorname{ctg}\,\alpha} = \frac{\operatorname{ctg}\,\alpha - \operatorname{tg}\,\alpha}{2}.$

Формулы тройного угла:

$\sin\,3\alpha=3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha,$

$\cos\,3\alpha=4\cos^3\alpha -3\cos\alpha,$

$\operatorname{tg}\,3\alpha=\frac{3\,\operatorname{tg}\,\alpha - \operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 3\,\operatorname{tg}^2\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,3\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 3\,\operatorname{ctg}\,\alpha}{3\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha - 1}.$

Прочие формулы для кратных углов:

$\sin\,4\alpha=\cos\alpha \left(4\sin\alpha - 8\sin^3\alpha\right),$

$\cos\,4\alpha=8\cos^4\alpha - 8\cos^2\alpha + 1,$

$\operatorname{tg}\,4\alpha=\frac{4\,\operatorname{tg}\,\alpha - 4\,\operatorname{tg}^3\,\alpha}{1 - 6\,\operatorname{tg}^2\,\alpha + \operatorname{tg}^4\,\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,4\alpha=\frac{\operatorname{ctg}^4\,\alpha - 6\,\operatorname{ctg}^2\,\alpha + 1}{4\,\operatorname{ctg}^3\,\alpha - 4\,\operatorname{ctg}\,\alpha},$

$\sin\,5\alpha=16\sin^5\alpha-20\sin^3\alpha +5\sin\alpha,$

$\cos\,5\alpha=16\cos^5\alpha-20\cos^3\alpha +5\cos\alpha,$

$\operatorname{tg}\,5\alpha=\operatorname{tg}\alpha\frac{\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+5}{5\operatorname{tg}^4\alpha-10\operatorname{tg}^2\alpha+1},$

$\operatorname{ctg}\,5\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\frac{\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+5}{5\operatorname{ctg}^4\alpha-10\operatorname{ctg}^2\alpha+1},$

$\sin (n\alpha)=2^{n-1}\prod^{n-1}_{k=0}\sin\left( \alpha+\frac{\pi k}{n}\right)$ следует из формулы дополнения и формулы Гаусса для Гамма-функции

Формулы половинного угла:

$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 2\pi,$

$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi,$

$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},$

$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha},$

$\operatorname{tg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}},\quad 0 \leqslant \alpha < \pi,$

$\operatorname{ctg}\,\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}},\quad 0 < \alpha \leqslant \pi.$

Произведения

Формулы для произведений функций двух углов:

$\sin\alpha \sin\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2},$

$\sin\alpha \cos\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{2},$

$\cos\alpha \cos\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{2},$

$\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{tg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)},$

$\operatorname{tg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\sin(\alpha-\beta) + \sin(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta) -\sin(\alpha-\beta)},$

$\operatorname{ctg}\,\alpha\,\operatorname{ctg}\,\beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}.$

Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:

$\sin\alpha \sin\beta \sin\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) + \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\sin\alpha \sin\beta \cos\gamma = \frac{-\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) - \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\sin\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\sin(\alpha+\beta-\gamma) - \sin(\beta+\gamma-\alpha) + \sin(\alpha-\beta+\gamma) - \sin(\alpha+\beta+\gamma)}{4},$

$\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma = \frac{\cos(\alpha+\beta-\gamma) + \cos(\beta+\gamma-\alpha) + \cos(\alpha-\beta+\gamma) + \cos(\alpha+\beta+\gamma)}{4}.$

Формулы для произведений тангенсов и котангенсов трёх углов можно получить, поделив правые и левые части соответствующих равенств, представленных выше.

Степени

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{2},$	$\operatorname{tg}^2\,\alpha = \frac{1 - \cos 2\,\alpha}{1 + \cos 2\,\alpha},$
$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{2},$	$\operatorname{ctg}^2\,\alpha = \frac{1 + \cos 2\,\alpha}{1 - \cos 2\,\alpha},$
$\sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{4},$	$\operatorname{tg}^3\,\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha}{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha},$
$\cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{4},$	$\operatorname{ctg}^3\,\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos 3\,\alpha}{3\sin\alpha - \sin 3\,\alpha},$
$\sin^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},$	$\operatorname{tg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3},$
$\cos^4\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{8},$	$\operatorname{ctg}^4\,\alpha = \frac{\cos 4\alpha + 4\cos 2\,\alpha + 3}{\cos 4\alpha - 4\cos 2\,\alpha + 3}.$

Суммы

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha \pm \beta}{2} \cos \frac{\alpha \mp \beta}{2}$

$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos \alpha - \cos \beta = - 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$

$\operatorname{tg} \alpha \pm \operatorname{tg} \beta = \frac{\sin (\alpha \pm \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

$1 \pm \sin {2 \alpha} = (\sin \alpha \pm \cos \alpha)^2 .$

Для функций от аргумента $x$ существует представление:

$A \sin \ x + B \cos \ x = \sqrt{A^2 + B^2}\sin( x + \phi ),$

где угол $\phi$ находится из соотношений:

$\sin \phi = \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}, \cos \phi = \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Однопараметрическое представление

Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.

$\sin x = \frac{\sin x}{1} = \frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\cos x = \frac{\cos x}{1} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}} =\frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{tg}~x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{ctg}~x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}$

$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}{1 - \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}}$

$\operatorname{cosec}~x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \frac{x}{2}} {2\operatorname{tg} \frac{x}{2}}$

Производные и интегралы

Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:

$( \sin x )' = \cos x \,,$

$( \cos x )' = -\sin x \,,$

$( \mathop{\operatorname{tg}}\, x )' = \frac{1}{\cos ^2 x},$

$( \mathop{\operatorname{ctg}}\, x )' = -\frac{1}{\sin ^2 x},$

$( \sec x)' = \frac{\sin x}{\cos ^2 x},$

$( \operatorname{cosec}~x)' = -\frac{\cos x}{\sin ^2 x}.$

Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:

$\int\sin x\, dx = -\cos x + C \,,$

$\int\cos x\, dx = \sin x + C \,,$

$\int\mathop{\operatorname{tg}}\, x\, dx = -\ln \left| \cos x\right| + C \,,$

$\int\mathop{\operatorname{ctg}}\, x\, dx = \ln \left| \sin x \right| + C \,,$

$\int\sec x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \left( \frac {\pi}{4}+\frac{x}{2}\right) \right|+ C \,,$

$\int \operatorname{cosec}~ x\, dx=\ln \left| \operatorname{tg} \, \frac{x}{2} \right|+ C.$

См. также: Список интегралов от тригонометрических функций

Тригонометрические функции комплексного аргумента

Определение

Формула Эйлера:

$e^{i \vartheta} = \cos\vartheta + i\sin\vartheta \,$

позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или (с помощью рядов) как аналитическое продолжение их вещественных аналогов:

$\sin z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}z^{2n+1} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i}\, = \frac{\operatorname{sh} i z }{i};$

$\cos z = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}z^{2n} = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}\, = \operatorname{ch} i z;$

$\operatorname{tg}\, z = \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{i(e^{i z} + e^{-i z})};$

$\operatorname{ctg}\, z = \frac{\cos z}{\sin z} = \frac{i(e^{i z} + e^{-i z})}{e^{i z} - e^{-i z}};$

$\sec z = \frac{1}{\cos x} = \frac{2}{e^{i z} + e^{-i z}};$

$\operatorname{cosec}\, z = \frac{1}{\sin x} = \frac{2i}{e^{i z} - e^{-i z}},\,$ где $i^2=-1.\,$

Соответственно, для вещественного x,

$\cos x = \operatorname{Re}(e^{i x}), \,$

$\sin x = \operatorname{Im}(e^{i x}). \,$

Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями:

$\sin (x + iy) = \sin x\, \operatorname{ch}\, y + i \cos x\, \operatorname{sh}\, y,\,$

$\cos (x + iy) = \cos x\, \operatorname{ch}\, y - i \sin x\, \operatorname{sh}\, y.\,$

Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются и в комплексном случае. Некоторые дополнительные свойства:

• комплексные синус и косинус, в отличие от вещественных, могут принимать сколь угодно большие по модулю значения;
• все нули комплексных синуса и косинуса лежат на вещественной оси.

Комплексные графики

На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное значение (чёрный — ноль). Цвет изменяется от аргумента и угла согласно карте.

Тригонометрические функции в комплексной плоскости

$\sin\, z\,$	$\cos\, z\,$	$\operatorname{tg}\, z\,$	$\operatorname{ctg}\, z\,$	$\sec\, z\,$	$\operatorname{cosec}\, z\,$

История названий

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива» («полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха» было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива». Арабские переводчики не перевели слово «джива» арабским словом «ватар», обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба». Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба» обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб», что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб» латинским словом sinus, имеющим то же значение.

Современные краткие обозначения sin и cos введены Уильямом Отредом и закреплены в трудах Эйлера.

Термины «тангенс» (от лат. tangens — касающийся) и «секанс» (лат. secans — секущий) были введены датским математиком Томасом Финке (1561—1656) в его книге «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583).

Сам термин тригонометрические функции введён Клюгелем в 1770 году.

См. также

В Викитеке есть тексты по теме
Таблицы интегралов и другие математические функции

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Обратные тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
• Г. Б. Двайт Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.

Ссылки

• GonioLab — прояснённая единичная окружность, тригонометрические и гиперболические функции (Java Web Start)
• Weisstein, Eric W. Тригонометрические функции (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Онлайн калькулятор: вычисление значений тригонометрических функций
• Интерактивная карта значений тригонометрических функций