- Функция ошибок
-
В математике функция ошибок (функция Лапласа) — это неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей, статистике и теории дифференциальных уравнений в частных производных. Она определяется как
- .
Дополнительная функция ошибок, обозначаемая (иногда применяется обозначение ) определяется через функцию ошибок:
- .
Комплексная функция ошибок, обозначаемая , также определяется через функцию ошибок:
- .
Содержание
Свойства
- Функция ошибок нечётна:
- Для любого комплексного выполняется
где черта обозначает комплексное сопряжение числа .
- Функция ошибок не может быть представлена через элементарные функции, но, разлагая интегрируемое выражение в ряд Тейлора и интегрируя почленно, мы можем получить её представление в виде ряда:
Это равенство выполняется (и ряд сходится) как для любого вещественного , так и на всей комплексной плоскости. Последовательность знаменателей образует последовательность A007680 в OEIS.
- Для итеративного вычисления элементов ряда полезно представить его в альтернативном виде:
поскольку — сомножитель, превращающий -й член ряда в -й, считая первым членом .
- Функция ошибок на бесконечности равна единице; однако это справедливо только при приближении к бесконечности по вещественной оси, так как:
- При рассмотрении функции ошибок в комплексной плоскости точка будет для неё существенно особой.
- Производная функции ошибок выводится непосредственно из определения функции:
- Обратная функция ошибок представляет собой ряд
где c0 = 1 и
Поэтому ряд можно представить в следующем виде (заметим, что дроби сокращены):
Последовательности числителей и знаменателей после сокращения — A092676 и A132467 в OEIS; последовательность числителей до сокращения — A002067 в OEIS.
Применение
Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением , то вероятность, что число отклонится от среднего не более чем на , равна .
Функция ошибок и дополнительная функция ошибок встречаются в решении некоторых дифференциальных уравнений, например, уравнения теплопроводности с граничными условиями описываемыми функцией Хевисайда («ступенькой»).
В системах цифровой оптической коммуникации, вероятность ошибки на бит также выражается формулой, использующей функцию ошибок.
Асимптотическое разложение
При больших полезно асимптотическое разложение для дополнительной функции ошибок:
Хотя для любого конечного этот ряд расходится, на практике первых нескольких членов достаточно для вычисления с хорошей точностью, в то время как ряд Тейлора сходится очень медленно.
Другое приближение даётся формулой
где
Родственные функции
С точностью до масштаба и сдвига, функция ошибок совпадает с нормальным интегральным распределением, обозначаемым
Обратная функция к , известная как нормальная квантильная функция, иногда обозначается и выражается через нормальную функцию ошибок как
Нормальное интегральное распределение чаще применяется в теории вероятностей и математической статистике, в то время как функция ошибок чаще применяется в других разделах математики.
Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера, а также может быть представлена как вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера):
Функция ошибок выражается также через интеграл Френеля. В терминах регуляризованной неполной гамма-функции P и неполной гамма-функции,
Обобщённые функции ошибок
Некоторые авторы обсуждают более общие функции
Примечательными частными случаями являются:
- — прямая линия, проходящая через начало координат:
- — функция ошибок .
После деления на все с нечётными выглядят похоже (но не идентично). Все с чётными тоже выглядят похоже, но не идентично, после деления на . Все обобщённые функции ошибок с выглядят похоже на полуоси .
На полуоси все обобщённые функции могут быть выражены через гамма-функцию:
Следовательно, мы можем выразить функцию ошибок через гамма-функцию:
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок
Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как
Их можно разложить в ряд:
откуда следуют свойства симметрии
и
Реализация
В стандарте языка Си (ISO/IEC 9899:1999, 7.12.8) предусмотрены функция ошибок и дополнительная функция ошибок . Функции находятся в заголовочных файлах
math.h
илиcmath
. Там же есть пары функцийerff(),erfcf()
иerfl(),erfcl()
. Первая пара получает и возвращает значения типаfloat
, а вторая — значения типаlong double
. Соответствующие функции также содержатся в библиотеке Math проекта Boost.В языке Java функции ошибок нет в стандартной библиотеке математических функций java.lang.Math [2]. Класс
Erf
есть в пакетеorg.apache.commons.math.special
от Apache [3]. Однако эта библиотека не является одной из стандартных библиотек Java 6.Matlab[4], Mathematica и Maxima[5] содержат обычную и дополнительную функцию ошибок, а также обратные к ним функции.
В языке Python функция ошибок доступна из стандартной библиотеки math, начиная с версии 2.7. [6] Также функция ошибок, дополнительная функция ошибок и многие другие специальные функции определены в модуле
Special
проекта SciPy [7].В языке Erlang функция ошибок и дополнительная функция ошибок доступны из стандартного модуля math, [8].
См. также
- Функция Гаусса
- Функция Доусона
Литература
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (См. часть 7)
- Nikolai G. Lehtinen «Error functions», April 2010 [9]
Ссылки
Категория:- Специальные функции
Wikimedia Foundation. 2010.