Асимптотическое разложение

Асимптотическое разложение функции f(x) — формальный функциональный ряд, такой, что сумма произвольного конечного числа членов этого ряда аппроксимирует функцию f(x) в окрестности некоторой (возможно, бесконечно удалённой) её предельной точки. Понятие асимптотического разложения функции и асимптотического ряда были введены Анри Пуанкаре при разрешении задач небесной механики. Отдельные случаи асимптотического разложения были открыты и применялись ещё в XVIII в. Асимптотические разложения и ряды играют важную роль в различных задачах математики, механики и физики.

Определение

Пусть функции $\varphi_{n}$ удовлетворяют свойству: $\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_n(x)) \ (x \rightarrow L) \quad \forall n \in \N$ для некоторой предельной точки $L$ области определения функции f(x). Последовательность функций $\varphi_{n}$, удовлетворяющая указанным условиям, называется асимптотической последовательностью. Ряд: $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$, для которого выполняются условия :$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = O(\varphi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L)$

или эквивалентно:

$f(x) - \sum_{n=0}^{N-1} a_n \varphi_{n}(x) = o(\varphi_{N-1}(x)) \ (x \rightarrow L).$

называется асимптотическим разложением функции f (x) или её асимптотическим рядом. Этот факт отражается:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L).$

Асимптотическое разложение Эрдейи

Асимптотическое разложение Эрдейи имеет более общее определение. Ряд $\sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_{n}(x)$ называется асимптотическим разложением Эрдейи функции f (x), если существует такая асимптотическая последовательность $\psi_{n}$, что

$f(x) - \sum_{n=0}^{N} a_n \varphi_{n}(x) = o(\psi_{N}(x)) \ (x \rightarrow L).$

Этот факт отражается:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \varphi_n(x) \ (x \rightarrow L) \quad \{\psi_{n}(x)\}.$

Такое обобщённое разложение имеет много общих свойств с обычным асимптотическим разложением, однако теория такого разложения плохо изучена, часто малополезна для числовых вычислений и редко используется.

Примеры

• Гамма-функция

$\frac{e^x}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x+1) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \rightarrow \infty)$

• Интегральная показательная функция

$xe^xE_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty)$

• Дзета-функция Римана

$\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^{\overline{2m-1}}}{(2m)! N^{2m-1}}$
где $B_{2m}$ — числа Бернулли и $s^{\overline{2m-1}}=s(s+1)(s+2)\cdots(s+2m-2)$. Это разложение справедливо для всех комплексных s.

• Функция ошибок

$\sqrt{\pi}x e^{x^2}{\rm erfc}(x) \sim 1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}.$

• Примером асимптотического разложения Эрдейи, которое не является обычным разложением, служит^[1]:

$\frac{\sin (x)}{x} \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{n!e^{-(n+1)x/2n}}{(\log x)^n} \quad (x \rightarrow \infty)\ \{(\log x)^{-n}\}.$

Примечания

1. ↑ Roderick Wong. Asymptotic approximations of integrals. Academic Press, London, 1989 ст. 13

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.
• Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962
• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975