Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке $x_0$, а функция g имеет производную в точке $y_0 = f(x_0)$, то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке $x_0$.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $f:U(x_0) \to V(y_0),$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) \to \R$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0),\; g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция также дифференцируема: $h = g \circ f \in \mathcal{D}(x_0),$ и её производная имеет вид:

$h'(x_0) = g'\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0).$

Замечание

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции $y = y(x),$ где $x = x(t),$ принимает следующий вид:

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}.$

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции $z = g(y)$ в точке $y_0$ имеет вид:

$dz = g'(y_0) \, dy,$

где $dy$ — дифференциал тождественного отображения $y \to y0$:

$dy(h) = h,\quad h \in \R.$

Пусть теперь $y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal{D}(x_0).$ Тогда $dy = f'(x_0)\, dx$, и согласно цепному правилу:

$dz = g'\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy.$

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть $h(x) = (3x^2 - 5x)^7.\;$ Тогда функция $h\;$ может быть записана в виде композиции $h = g \circ f ,$ где

$f(x) = 3x^2-5x,\;$

$g(y) = y^7.\;$

Дифференцируя эти функции отдельно:

$f'(x) = 6x - 5,\;$

$g'(y) = 7y^6,\;$

получаем

$h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5).$

Многомерный случай

Пусть даны функции $f:U(x_0) \subset \R^m \to V(y_0) \subset \R^n,$ где $y_0 = f(x_0),$ и $g:V(y_0) \subset \R^n \to \R^p.$ Пусть также эти функции дифференцируемы: $f\in \mathcal{D}(x_0)$ и $g \in \mathcal{D}(y_0).$ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$dh(x_0) = dg(y_0) * df(x_0).$

В частности, матрица Якоби функции $h$ является произведением матриц Якоби функций $g$ и $f:$

$\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)} = \frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)} \cdot \frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}.$

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

  $\left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert = \left\vert\frac{\partial(h_1,\ldots, h_p)}{\partial(y_1,\ldots,y_n)}\right\vert \cdot \left\vert\frac{\partial(y_1,\ldots, y_n)}{\partial(x_1,\ldots,x_m)}\right\vert.$

Для частных производных сложной функции справедливо

• $\frac{\partial h(x_0)}{\partial x_j} = \sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial g(y_0)}{\partial y_i} \frac{\partial y_i}{\partial x_j},\quad j=1,\ldots m.$

Пример

Пусть дана функция трёх переменных $h(x,y,z) = \sin x + \cos^2 (x+y+z) - \sqrt{2x^2 + 5y^3}\;$ и требуется найти её частную производную по переменной $x$. Функция $h\;$ может быть записана как $h(x,y,z) = f(u,v,w) ,$ где

$f(u,v,w) = u + v^2 + w,\;$

$u(x,y,z) = \sin x,\;$

$v(x,y,z) = \cos (x+y+z),\;$

$w(x,y,z) = - \sqrt{2x^2 + 5y^3}.\;$

Тогда частная производная функции $h$ по переменной $x$ будет иметь следующий вид:

$\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial w} \frac{\partial w}{\partial x}$

Вычисляем производные:

$\frac{\partial f}{\partial u} = 1,\; \frac{\partial f}{\partial v} = 2v,\; \frac{\partial f}{\partial w} = 1,\; \frac{\partial u}{\partial x} = \cos x,\; \frac{\partial v}{\partial x} = -\sin (x+y+z),\; \frac{\partial w}{\partial x} = - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.\;$

Подставляем найденные производные:

$\frac{\partial h}{\partial x} = 1 \cdot \cos x \quad + \quad 2 \cdot \Bigl( \cos (x+y+z) \Bigl) \cdot \Bigl( -\sin(x+y+z) \Bigl) \quad + \quad 1 \cdot \left( - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}} \right)$

В итоге

$\frac{\partial h}{\partial x} = \cos x - \sin(2x+2y+2z) - \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 5y^3}}.$

См. также

• Формула Фаа-ди-Бруно

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.