Вы можете отметить интересные вам фрагменты текста, которые будут доступны по уникальной ссылке в адресной строке браузера.


Производная обратной функции

Перевод
Производная обратной функции

Пусть ~y=f(x) - дифференцируемая функция от аргумента x в некотором интервале ~(a,b). Если в уравнении ~y=f(x) y считать аргументом, а x - функцией, то возникает новая функция ~x=\phi(y), где ~f[\phi(y)]\equiv y - функция обратная данной.

Содержание

Теорема (о дифференцировании обратной функции)

Для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е

~y'_x=\frac{1}{x'_y}


Примеры

  • y=\arcsin {x} \Rightarrow x=\sin {y},
~y'_x=(\arcsin{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(\sin{y})'}=\frac{1}{\cos{y}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{y}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2{(\arcsin {x})}}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}
  • ~y=\ln {x} \Rightarrow x=e^y ,
~y'_x=(\ln{x})'=\frac{1}{x'_y}=\frac{1}{(e^y)'}=\frac{1}{y' \cdot e^y}= [1] =\frac{1}{e^y}=\frac{1}{x}.

См. также

Примечания

  1. считаем здесь y независимой переменной

Литература

  • А. В. Кудрявцев, Б. П. Демидович «Краткий курс высшей математики», ISBN 5-02-013927-0

Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Производная функции — У этого термина существуют и другие значения, см. Производная. Иллюстрация понятия производной Производная&# …   Википедия

  • Дифференцирование функции — [ derivation  ] — операция определения производной рассматриваемой функции. Например, производная линейной функции (bx + a )’ = b, то есть является константой; производная  степенной функции ( xn)’ =  axn 1  ( х>0), то есть… …   Экономико-математический словарь

  • ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ — функции, связанные с обращением эллиптических интегралов (более строгое определение см. ниже). Подобно тому как простейшая тригонометрич. ф ция и=sinx является обратной по отношению к интегралу так одна из Э. ф. Якоби u =sn(x; k) =snx является… …   Физическая энциклопедия

  • Исчисление — У этого термина существуют и другие значения, см. Исчисление (значения) …   Википедия

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и …   Энциклопедия Кольера

  • Комплексный анализ — Комплексный анализ[1], теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП)  раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия …   Википедия

  • Позиционная система — счисления система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр …   Википедия

  • Позиционные системы счисления — Позиционная система счисления система счисления, в которой один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на… …   Википедия

  • Логарифм — График двоичного логарифма Логарифм числа …   Википедия