ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ это:

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

- нахождение дифференциала или, иначе, главной линейной части отображения. Нахождение дифференциала, т. е. аппроксимация отображения в окрестности нек-рой точки линейными отображениями, является важнейшей операцией дифференциального исчисления. Дифференциальное исчисление наиболее разработано в топологич. линейных пространствах.

Пусть Xи Y-линейные топологич. пространства. Пусть отображение f определено на открытом множестве V пространства Xи принимает значения в пространстве Y. Если разность f(x0+h)-f(x0), где и может быть аппроксимирована линейной относительно приращения hфункцией l х0: X-> Y, то f наз. дифференцируемым отображением в точке х 0. При этом аппроксимирующая линейная функция lx0 наз. производной или дифференциалом отображен и яв точке х 0 и обозначается символом f'(x0 )или df(x0). Отображения, имеющие в данной точке одинаковые производные, наз. касательными отображениями друг к другу в этой точке. Значение аппроксимирующей функции на элементе (обозначаемое символом f'(x0)hили dhf(x0 ))наз. дифференциалом отображения f в точке х 0 при приращении h.

В зависимости от того, что понимается под аппроксимацией приращения f(x0+h)-f(x0 )линейным по hвыражением, приходят к различным понятиям дифференцируемости и производной. Все важнейшие существующие определения см. п [1], [2].

Пусть F-совокупность всех отображений из Xв Yих - нек-рая топология или псевдотопология в F. Отображение является малым в нуле, если кривая понимаемая как отображение прямой в F, непрерывна в нуле в псевдотопологии т. Далее, отображение дифференцируемо в точке х 0, если существует такое линейное (непрерывное) отображение lx0, что отображение

является малым в нуле. В зависимости от выбора т в Fполучаются различные определения производных. Напр., в случае, если в качестве топологии т выбирается топология поточечной сходимости, получается дифференцируемость по Гато (см. Гато производная). В случае, если Xи У - банаховы пространства, а топология в Fесть топология равномерной сходимости на ограниченных множествах в X, приходят к дифференцируемости по Фреше (см. Фреше производная).

Если X=Rn,a Y=Rm, то производная f'(x0 )дифференцируемого отображения f(x)=(f1(x), ...,fm(x)), где x=( х 1,..., х п), задается Якоби матрицей ||дfi(x0)/dxj|| и является непрерывным линейным отображением из Rn в Rm.

Производные отображений обладают многими свойствами производных функций одного переменного. Напр., для них в самых широких предположениях имеет место свойство линейности:

во многих случаях для них верна формула

дифференцирования сложной функции; для отображений в локально выпуклые пространства справедливо обобщение теоремы Лагранжа о среднем значении.

Понятие дифференцируемого отображения распространяется на случай, когда X и Y- гладкие дифференцируемые многообразия, как конечномерные, так и бесконечномерные [4], [5], [6]. Дифференцируемые отображения бесконечномерных пространств и их производные были определены впервые В. Вольтерра (V. Volterra, 1887), М. Фреше (М. Frechet, 1911), Р. Гато (R. Gateau, 1913). Подробнее об истории развития понятия производной в многомерных пространствах см. [2].

Лит.:[1] Фрёлихер А., Бухер В., Дифференциальное исчисление в векторных пространствах без нормы, пер. с англ., М., 1970; [2] Авербух В. И., Смолянов О. Г., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 6, с. 201-60; 1968, т. 23, в. 4, с. 67-116; [3] Дьедонне Ж., Основы современного анализа, пер. с англ., М., 1964; [4] Ленг С, Введение в теорию дифференцируемых многообразий, пер. с англ., М., 1967; [5] Бурбаки Н., Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов, пер. с франц., М., 1975; [6] Спивак М., Математический анализ на многообразиях, пер. с англ., М., 1968.

О. Г. Смоляное, В. И. Соболев, В. М. Тихомиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ" в других словарях:

  • ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В СИЛУ СИСТЕМЫ — оператор, к рый определяется следующим образом. Пусть автономная система, f=(f1, ... ,fn) и fj : G R гладкие отображения, где G область в Rn. Пусть дано гладкое отображение j : Производная qfj в силу системы (*) функции j в точке определяется… …   Математическая энциклопедия

  • Дифференцирование сложной функции — Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке , а функция g имеет производную в точке , то …   Википедия

  • ЛИ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — естественная операция на дифференцируемом многообразии, сопоставляющая дифференцируемому векторному полю Xи дифференцируемому геометрич. объекту Qна многообразии Мнек рый новый геометрич. объект описывающий скорость изменения геометрич. объекта… …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕШЕ ПРОИЗВОДНАЯ — сильная производная, наиболее распространенная (наряду с Гатo производной, наз. иногда слабой производной) производная функционала или отображения. Ф. п. в точке x0 отображения нормированного пространства Xв нормированное пространство . называют… …   Математическая энциклопедия

  • ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — функции п переменных в точке то же самое, что дифференциал функции в этой точке. Термин П. д. употребляется с целью противопоставления его термину частный дифференциал . Понятие П. д. функции n переменных обобщается на случай отображения открытых …   Математическая энциклопедия

  • ФРЕШЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ — в точке x0 отображения нормированною пространства Xв нормированное пространство Y отображение являющееся линейным и непрерывным отображением из Xв Yи обладающее тем свойством, что где Если отображение f в точке x0 допускает разложение (1), то оно …   Математическая энциклопедия

  • ПРОИЗВОДНАЯ — одно из основных понятий математич. анализа. Пусть действительная функция f(x) действительного переменного хопределена в нек рой окрестности точки х 0 и существует конечный или бесконечный предел (*) Этот предел и наз. производной от функции f(х) …   Математическая энциклопедия

  • ГАТО ВАРИАЦИЯ — отображения f(x). линейного пространства Xв линейное топологического пространство Y предел в топологии пространства Y: в предположении, что он существует для всех Именно так ввел первую вариацию Р. Гато (R. Gateaux) в 1913 14. Для функционалов… …   Математическая энциклопедия

  • ГАТО ДИФФЕРЕНЦИАЛ — отображения линейного тонологич. пространства Xв линейное топологич. пространство У функция где предел в предположении, что он существует для всех , а сходимость понимается в топологии пространства Y. Так определенный Г. д. однороден, но… …   Математическая энциклопедия

  • ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных функций. Теория функций распадается на две области: теорию функций действительного переменного и теорию функций комплексного переменного, различие между которыми настолько велико, что… …   Энциклопедия Кольера

Книги

Другие книги по запросу «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»