Круговой многочлен

Круговой многочлен, или многочлен деления круга — многочлен вида

$\Phi_n(x)=\prod_k(x-\xi^k_n)$

где

$\xi^k_n=\cos\frac{2\pi k}n+i\sin\frac{2\pi k}n$

представляет собой корень степени $n$ из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам $k$, меньшим $n$, и взаимно простым с $n$.

Свойства

• Степень кругового многочлена $\mathop{\mathrm{deg}}\, \Phi_n=\varphi(n)$, где $\varphi$ — функция Эйлера.
• Круговой многочлен удовлетворяет соотношению

$\prod_{d|n} \Phi_{d}(x)=x^n - 1$

где произведение берется по всем положительным делителям $d$ числа $n$, включая единицу и само $n$. Это можно переписать как

$\Phi_n(x)=\frac{x^n - 1}{\prod_{d|n, \, d<n} \Phi_d(x)}.$

• Для многочлена $\Phi_n(x)$ можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса:

$\Phi_n(x)=\prod_{d|n}(x^d-1)^{\mu(n/d)}$

• В частности, если $n=p$ — простое, то

$\Phi_n(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1.$

• Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
• Над полем рациональных чисел все многочлены $\Phi_n(x)$ неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы.
  • Например: над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:

$\Phi_{12}(x)=x^4-x^2+1=(x^2+5x+1)(x^2-5x+1).$

См. также

• Круговое поле

Литература

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Мир, 1975.