ДЕЛЕНИЯ КРУГА МНОГОЧЛЕН это:

ДЕЛЕНИЯ КРУГА МНОГОЧЛЕН

круговой многочлен,- многочлен, имеющий вид

где jk - первообразные корни степени n из единицы и произведение берется по всем числам к, взаимно простым с n и взятым из ряда 1, 2, . .., n. Степень многочлена Ф п (х)- число натуральных чисел, меньших, чем л, и взаимно простых с га. Д. к. м. удовлетворяют соотношению где произведение берется по всем положительным делителям dчисла га, включая и само га. Это соотношение позволяет рекурсивно вычислять многочлены Ф п (х)путем деления многочлена х п-1 на произведение всех Ф d (х), d<n, d|n. При этом коэффициенты многочлена оказываются лежащими в исходном простом поле Р, а в случае поля рациональных чисел - целыми числами. Так,

Если п=р- простое и поле Римеет характеристику 0, то

Для многочлена Ф п (х)можно указать явное выражение через Мёбиуса функциюm(k):

Напр.,

Над полем рациональных чисел все многочлены Ф п (х)неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы. Так, над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:

Уравнение Ф n (х) = 0, дающее все первообразные корни п-й степени из единицы, наз. уравнением деления круга (окружности). Решение этого уравнения в тригонометрич. форме имеет вид:

где дробь kin несократима, т. е. ки пвзаимно просты. Решение в радикалах уравнения деления круга тесно связано с задачей построения правильного га-угольника или с эквивалентной ей задачей деления окружности на n равных частей, а именно, задача деления окружности на n частей решается с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда уравнение Ф n(x) = 0 решается в квадратных радикалах. Последнее, как доказал К. Гаусс (С. Gauss, 1801), имеет место в том и только в том случае, когда

где т- целое неотрицательное число и р 1; р 2,. .., ps- попарно различные простые числа, представимые в виде 22k+1 с целым неотрицательным к.

Лит.:[1] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Сушкевич А. К., Основы высшей алгебры, 4 изд., М.-Л., 1941.

П. В. Проскуряков.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ДЕЛЕНИЯ КРУГА МНОГОЧЛЕН" в других словарях:

  • Круговой многочлен — Круговой многочлен, или многочлен деления круга многочлен вида где представляет собой корень степени из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам , меньшим , и взаимно простым с …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных . А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ — решение нек рых геометрич. задач при помощи различных инструментов (линейки, циркуля и др.), к рые предполагаются абсолютно точными. В зависимости от выбора инструментов определяется цикл задач, к рые могут быть разрешены этими средствами.… …   Математическая энциклопедия

  • Алгебраическое число — над полем   элемент алгебраического замыкания поля , то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из . Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть , в этом случае поле… …   Википедия

  • Критерий Эйзенштейна — признак неприводимости многочлена. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического оттенка слова критерий (см. ниже).… …   Википедия

  • Признак Эйзенштейна — Критерий Эйзенштейна признак неприводимости многочлена. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического оттенка слова… …   Википедия

  • АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЧИСЛО — Ч комплексное (в частности, действительное) число, являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами, из к рых не все равны нулю. Если Ч А. ч., то среди всех многочленов с рациональными коэффициентами, имеющих своим корнем, существует… …   Математическая энциклопедия

  • ГРУППА — один из основных типов алгебраических систем. Теория Г. изучает в самой общей форме свойства алгебраич. операций, наиболее часто встречающихся в математике и ее приложениях (примеры таких операций умножение чисел, сложение векторов,… …   Математическая энциклопедия

  • Круговое поле — Круговое поле, или поле деления круга степени n это поле , порождённое присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня n й степени из единицы . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел. Название поля связано с тем, что …   Википедия

  • Дифференциальное исчисление — Исчисление бесконечно малых, включающее так называемое Д. исчисление, а также ему обратное интегральное, принадлежит к числу наиболее плодотворных открытий человеческого ума и составило эпоху в истории точных наук. Ближайшим поводом к изобретению …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»