- Поверхность вращения
-
Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.
Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии[1]
Содержание
Примеры
- Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
- Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
- Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают. Может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей.
- Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
- Конус получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую.
- Круговая цилиндрическая поверхность
- Катеноид
Площадь
Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.
Например, для тора с радиусами , площадь поверхности равна
- .
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле
Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формулеДля случая, когда кривая задана в полярной системе координат действительна формула
Объём
Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.
Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой вокруг оси можно вычислить по формуле
Примечания
Категория:- Поверхности
Wikimedia Foundation. 2010.