Линейное пространство

Лине́йное простра́нство, или ве́кторное простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.

Определение

Линейное, или векторное пространство $L \left( P \right)$ над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in L$ ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый $\mathbf{x} + \mathbf{y} \in L$ и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу $\lambda \in P$ и любому элементу $\mathbf{x} \in L$ ставится в соответствии элемент из $L \left( P \right)$, обозначаемый $\lambda\mathbf{x}\in L(P)$.

При этом удовлетворяются следующие условия:

1. $\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in L$ (коммутативность сложения);
2. $\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}$, для любых $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in L$ (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент $\theta \in L$, что $\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in L$ (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
4. для любого $\mathbf{x} \in L$ существует такой элемент $-\mathbf{x} \in L$, что $\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta$ (существование противоположного элемента).
5. $\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}$ (ассоциативность умножения на скаляр);
6. $1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}$ (существование нейтрального элемента относительно умножения).
7. $(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}$ (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения);
8. $\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}$(дистрибутивность сложения относительно умножения на скаляр).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами.

Простейшие свойства

1. Нейтральный элемент $\theta \in L$ является единственным.
2. $0\cdot\mathbf{x} = \theta$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
3. Для любого $\mathbf{x} \in L$ противоположный элемент $-\mathbf{x} \in L$ является единственным.
4. $(-1)\mathbf{x} = -\mathbf{x}$ для любого $\mathbf{x} \in L$.
5. $(-\alpha)\mathbf{x} = \alpha(-\mathbf{x}) = -(\alpha\mathbf{x})$ для любых $\alpha \in P$ и $\mathbf{x} \in L$.

Связанные определения и свойства

• Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество P линейного пространства L такое, что P само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр.
• Конечная сумма вида

$\alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$

называется линейной комбинацией элементов $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n \in L$ с коэффициентами $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in P$.

• Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
• Элементы $\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \ldots, \mathbf{x}_n$ называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная элементу $\mathbf{0} \in L$. В противном случае эти элементы называются линейно независимыми.
• Бесконечное подмножество векторов из L называется линейно зависимым, если линейно зависимо его некоторое конечное подмножество, и линейно независимым, если любое его конечное подмножество линейно независимо.
• Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом.
• Любые n линейно независимых элементов n-мерного пространства образуют базис этого пространства.
• Любой вектор $\mathbf{x} \in L$ можно представить (единственным образом) в виде конечной линейной комбинации базисных элементов:

$\mathbf{x} = \alpha_1\mathbf{x}_1 + \alpha_2\mathbf{x}_2 + \ldots + \alpha_n\mathbf{x}_n$.

Примеры

• Нулевое пространство, единственным элементом которого является ноль.
• Пространство всех функций $X\to P$ образует векторное пространство размерности равной мощности X.
• поле вещественных чисел может быть рассмотрено как континуально-мерное векторное пространство над полем рациональных чисел.

Дополнительные структуры

• Нормированное векторное пространство
• Топологическое линейное пространство
• Евклидово пространство
• Гильбертово пространство

См. также

• Линейный оператор
• Сопряжённое пространство
• Модуль над кольцом
• Выпуклый функционал
• Линейная независимость
• Линейная оболочка

Литература

• Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.

Ссылки

• Векторное пространство