Гипотеза Пуанкаре

Гипотеза Пуанкаре
Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Пуанкаре́ является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной сферой с точностью до деформации.

Содержание

Формулировка

Гипотеза Пуанкаре

В исходной форме гипотеза Пуанкаре утверждает:

Всякое односвязное компактное трёхмерное многообразие без края гомеоморфно трёхмерной сфере.


Обобщённая гипотеза Пуанкаре

Обобщённая гипотеза Пуанкаре утверждает:

Для любого натурального числа n всякое многообразие размерности n гомотопически эквивалентно сфере размерности n тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей.

Исходная гипотеза Пуанкаре является частным случаем обобщённой гипотезы при n = 3.

Схема доказательства

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. Основной шаг в доказательстве состоит в классификации таких сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею» (то есть, вложенное (0,1)\times S^2), а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой — после чего продолжают деформацию. Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. Процесс, описанный выше, называется «поток Риччи с хирургией».

При доказательстве гипотезы Пуанкаре начинают с произвольной римановой метрики на односвязном трёхмерном многообразии M и применяют к нему поток Риччи с хирургией. Важным шагом является доказательство того, что в результате такого процесса «выбрасывается» всё. Это означает, что исходное многообразие M можно представить как набор сферических пространственных форм S^3/\Gamma_i, соединённых друг с другом трубками [0,1]\times S^2. Подсчёт фундаментальной группы показывает, что M диффеоморфно связанной сумме набора пространственных форм S^3/\Gamma_i и более того все \Gamma_i тривиальны. Таким образом, M является связной суммой набора сфер, то есть, сферой.

История

Обложка журнала Science № 314(5807), 2006 год, провозглашающая доказательство гипотезы Пуанкаре «прорывом года».

В 1900 году Пуанкаре сделал предположение, что трёхмерное многообразие со всеми группами гомологий как у сферы гомеоморфно сфере. В 1904 году он же нашёл контр-пример, называемый теперь сферой Пуанкаре, и сформулировал окончательный вариант своей гипотезы. Попытки доказать гипотезу Пуанкаре привели к многочисленным продвижениям в топологии многообразий.

Доказательства обобщённой гипотезы Пуанкаре для n ⩾ 5 получены в начале 1960—1970-х почти одновременно Смейлом, независимо и другими методами Столлингсом (англ.) (для n ⩾ 7, его доказательство было распространено на случаи n = 5 и 6 Зееманом (англ.)). Доказательство значительно более трудного случая n = 4 было получено только в 1982 году Фридманом. Из теоремы Новикова о топологической инвариантности характеристических классов Понтрягина следует, что существуют гомотопически эквивалентные, но не гомеоморфные многообразия в высоких размерностях.

Доказательство исходной гипотезы Пуанкаре (и более общей гипотезы Тёрстона) было найдено только в 2002 году Григорием Перельманом. Впоследствии доказательство Перельмана было проверено и представлено в развёрнутом виде как минимум тремя группами учёных.[1] Доказательство использует поток Риччи с хирургией и во многом следует плану, намеченному Гамильтоном, который также первым применил поток Риччи.

Признание и оценки

См. также

Примечания

  1. И. Иванов Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
  2. Dana Mackenzie (2006). «BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved». Science 314 (5807): 1848-1849. DOI:10.1126/science.314.5807.1848. (англ.)
  3. Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
  4. В частности, «Manifold Destiny» была включена в книгу The Best American Science Writing за 2007 год.
  5. Sylvia Nasar, David Gruber (2006). «Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it». The New Yorker (August 21). Русский перевод: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
  6. Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

Ссылки

  • Perelman, Grisha (November 11, 2002), "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications", arΧiv:math.DG/0211159 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (March 10, 2003), "Ricci flow with surgery on three-manifolds", arΧiv:math.DG/0303109 [math.DG] 
  • Perelman, Grisha (July 17, 2003), "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds", arΧiv:math.DG/0307245 [math.DG] 

Wikimedia Foundation. 2010.

См. также в других словарях:

  • Обобщённая гипотеза Пуанкаре — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Берча и Свиннертона Дайера Гипотеза Пуанкаре считается… …   Википедия

  • Пуанкаре, Анри — Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси …   Википедия

  • Пуанкаре, Жюль Анри — Анри Пуанкаре Jules Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854 Место рождения: Сите Дюкаль близ Нанси, Франция Дата смерти: 17 июля 1912 Место смерти …   Википедия

  • Пуанкаре А. — Анри Пуанкаре Jules Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854 Место рождения: Сите Дюкаль близ Нанси, Франция Дата смерти: 17 июля 1912 Место смерти …   Википедия

  • Пуанкаре Анри — Анри Пуанкаре Jules Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854 Место рождения: Сите Дюкаль близ Нанси, Франция Дата смерти: 17 июля 1912 Место смерти …   Википедия

  • Пуанкаре Жюль Анри — Анри Пуанкаре Jules Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854 Место рождения: Сите Дюкаль близ Нанси, Франция Дата смерти: 17 июля 1912 Место смерти …   Википедия

  • Гипотеза Римана — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Гипотеза Римана о… …   Википедия

  • Гипотеза — У этого термина существуют и другие значения, см. Гипотеза (значения). Гипотеза (др. греч. ὑπόθεσις  предположение; от ὑπό  снизу, под + θέσις  тезис)  предположение или догадка; утверждение, предполагающее доказательство, в… …   Википедия

  • ПУАНКАРЕ ГИПОТЕЗА — утверждение, приписываемое А. Пуанкаре (Н. Poincare) и гласящее: любое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере. Естественным обобщением является следующее утверждение (обобщенная гипотеза Пуанкаре): любое… …   Математическая энциклопедия

  • Гипотеза Бёрча — Задачи тысячелетия Равенство классов P и NP Гипотеза Ходжа Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Римана Квантовая теория Янга  Миллса Существование и гладкость  решений уравнений Навье Стокса Гипотеза Бёрча Свиннертон Дайера Гипотеза Бёрча … …   Википедия

Книги

  • О науке, А. Пуанкаре. Книга включает четыре произведения выдающегося французского математика Анри Пуанкаре (1854—1912): «Наука и гипотеза», «Ценность науки», «Наука и метод» и «Последние мысли», которые посвящены… Подробнее  Купить за 1500 руб
  • Гипотеза Пуанкаре, Jesse Russell. Внимание! Книга представляет собой набор материалов из Википедии и/или других online-источников. High Quality Content by WIKIPEDIA articles! Гипотеза Пуанкаре? является одной из… Подробнее  Купить за 998 руб
  • Гипотеза Пуанкаре, Jesse Russell. High Quality Content by WIKIPEDIA articles!Гипотеза Пуанкаре? является одной из наиболее известных задач топологии. Она даёт достаточное условие того, что пространство является трёхмерной… Подробнее  Купить за 998 руб
Другие книги по запросу «Гипотеза Пуанкаре» >>