Функция Ангера

Функция Ангера - неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

$z^2\frac{d^2f}{dz^2}+z\frac{df}{dz}+(z^2-\nu^2)f=(z-\nu)\frac{\sin(\pi z)}{\pi}$

Интегральное выражение функции Ангера:

$\mathsf{J}_\nu(z)=\mathsf{J}_{\nu,0}(z)=\frac1{\pi}\int_0^\pi \cos(\nu\theta-z\cdot\sin\theta) d\theta$

где $\mathsf{J}_{\nu,0}(z)$ — функция Бурже.

При целых $\nu$ функция Ангера совпадает с функцией Бесселя. Поэтому часто при определении функции Бесселя даётся укороченный интеграл, идентичный функции Ангера. На самом деле, при нецелых $\nu$ между ними есть разница:

$\mathsf{J}_\nu(z)-J_\nu(z)=\frac{\sin\nu\pi}{\pi}\int_0^\infty \exp(-\nu\theta-z\cdot\mathrm{sh}\theta) d\theta$

Соотношение с функцией Вебера:

$\mathsf{J}_\nu(z)\cdot\sin(\pi\nu)=\mathsf{E}_\nu(z)\cdot\cos(\pi\nu)-\mathsf{E}_{-\nu}(z)$

Литература

• Функция Ангера — статья из Математической энциклопедии

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Anger Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.