Открытые проблемы в теории чисел

Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.

Гипотезы о простых числах

• Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
• Слабая проблема Гольдбаха. Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана для всех достаточно больших нечётных чисел).
• Проблема Ризеля: поиск такого минимального нечётного $k$, что число $k \cdot 2^n - 1$ является составным для всех натуральных $n$.
• Проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального $k$, что число $k \cdot 2^n + 1$ является составным для всех натуральных $n$.
• Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
• Гипотеза Лежандра. Для любого натурального $n$ между $n^2$ и $(n+1)^2$ найдётся хотя бы одно простое число.
• Гипотеза Брокарда. Для любого натурального $n$ между $p_n^2$ и $p_{n+1}^2$ (где $p_n$ — это $n$-ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
• Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа $n$ найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна $n$.
• Верно ли, что для любого положительного иррационального числа $\theta$ и любого положительного $\epsilon$ существует бесконечное количество пар простых чисел $(p, q),$ для которых выполняется неравенство $\left|\theta-\frac{p}{q}\right|<q^{-2+\epsilon}$?^[1]
• Сходится ли ряд $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{k}{p_k}$?^[2]
• Гипотеза Гильбрайта. Для любого натурального числа $n$ последовательность абсолютных разностей $n$-го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: $1, 2, 2, 4, 2, \dots,$ разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: $1, 0, 2, 2, 2, \dots$ и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3×10^11[3]
• Гипотеза Буняковского Если $f(x)~$ - целозначный неприводимый многочлен и d - наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен $f(x)/d~$ принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау - частный случай этой гипотезы при $f(x)=x^2+1~$.
• Гипотеза Диксона Если $a_1n+b_1, a_2n+b_2,...,a_rn+b_r~$ - конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел $a_1n+b_1, a_2n+b_2,...,a_rn+b_r~$ являются простыми одновременно. Причем из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число $a_jn+b_j~$ кратно p.
• Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей^[4]:

Последовательность	Название
$2^n-1$	числа Мерсенна
$n^2+1$	4-я проблема Ландау
$n\cdot 2^n+1$	числа Каллена (англ.)
$n\cdot 2^n-1$	числа Вудалла (англ.)
$2^{2^n}+1$	числа Ферма
$F_n$	числа Фибоначчи
пары $(n,\;n+2)$	простые близнецы
пары $(n,\;2n+1)$	простые числа Софи Жермен
$n! \pm 1$	факториальные числа (англ.)
$n\# \pm 1$	праймориальные числа (англ.)
$k \cdot 2^n + 1$, $k$ — нечетно, $2^n > k$	числа Прота

Гипотезы о совершенных числах

• Не существует нечётных совершенных чисел.
• Количество совершенных чисел бесконечно.

Гипотезы о дружественных числах

• Не существует взаимно простых дружественных чисел.
• Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.

Диофантовы уравнения

• Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление?^[5]
• Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
• Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
• Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает $10^{45}.$^[6]
• Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
• Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
• Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
• Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения $9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2$?^[5]
• Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями.

Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений.^[7][5]

Аналитическая теория чисел

• Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:

  $\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) ?$

• Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой $x y=N$ и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой

  $\Phi(N) = \sum_{k=1}^N \tau(k) = N \ln N + (2\gamma-1)N+O(N^\theta),$

где $\tau(k)$ — количество делителей числа k, $\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони, а $\theta$ может быть выбрано равным $\frac{131}{416}.$ Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении $\theta$ эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем $\frac{1}{4}$).^[8][9][10]

• Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами : $\max_{i\le n} (p_{i+1}-p_i)=O(\ln ^2 p_n)~$.
• Ослабленная гипотеза Мертенса: доказать, что функция Мертенса $M(n)~$ оценивается как $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})~$. Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
• Первая гипотеза Харди — Литлвуда - гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида $(p,p+a_2,...,p+a_k)~$, утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
• Вторая гипотеза Харди — Литлвуда - гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел: $\pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y)~$.
• Гипотеза Сингмастера (англ.). Обозначим через $N(a)$ количество раз, которое натуральное число $a$, большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля. Сингмастер (англ.) показал, что $N(a)=O(\ln a)$, что в дальнейшем было улучшено до $N(a) = O(\ln a \cdot \ln \ln \ln a \cdot {\ln}^{-3} \ln a)$. Верно ли более сильное утверждение $N(a)=O(1)$?
• Гипотеза Зарембы (англ.). Для любого натурального числа q найдётся такое число p, что в разложении $\frac pq$ в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1.^[11]

Теория Рамсея

• Значения чисел Рамсея (англ.) $R(r,\;s)$. Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается $R(5,\;5)$, про него известно только, что $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 49$.

$r,\;s$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	3	6	9	14	18	23	28	36	[40, 43]
4	1	4	9	18	25	[35, 41]	[49, 61]	[56, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	1	5	14	25	[43, 49]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[125, 316]	[143, 442]
6	1	6	18	[35, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[113, 298]	[127, 495]	[169, 780]	[179, 1171]
7	1	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[113, 298]	[205, 540]	[216, 1031]	[233, 1713]	[289, 2826]
8	1	8	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[216, 1031]	[282, 1870]	[317, 3583]	≤ 6090
9	1	9	36	[73, 115]	[125, 316]	[169, 780]	[233, 1713]	[317, 3583]	[565, 6588]	[580, 12 677]
10	1	10	[40, 43]	[92, 149]	[143, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	≤ 6090	[580, 12 677]	[798, 23 556]

• Значения чисел ван дер Вардена (англ.). На данный момент известны значения только 6 первых чисел: 1, 3, 9, 35, 178, 1132 (последовательность A005346 в OEIS). Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества $\{1, 2, \dots, N\}$ на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что $3704 \leqslant N \leqslant {}^8 2$, где выражение для верхней границы использует тетрацию).^[12]

Другие проблемы

• Пусть $x$ — положительное число такое, что $2^x$ и $3^x$ — целые числа. Может ли $x$ не быть целым числом?
• Существование слегка избыточных чисел.
• Существуют ли попарно различные натуральные числа $a,\;b,\;c,\;d$ такие, что $a^5+b^5=c^5+d^5$?^[13]
• Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?^[14]
• Гипотеза Биля. Если $A^x+B^y=C^z,$ где $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ — натуральные и $x,\;y,\;z>2$, то $A,\;B,\;C$ имеют общий простой делитель.
• Гипотеза Эрдёша (англ.). Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
• Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)^[15]
• Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
• Гипотеза жонглёра. Любая последовательность жонглёра достигает 1.^[16] Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой

$a_{k+1}=\begin{cases} \left\lfloor a_k^{1/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is even}; \\ \\ \left\lfloor a_k^{3/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is odd}. \end{cases}$

• Проблема Брокарда (англ.). Имеет ли уравнение $n!+1=m^2$ решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?^[17]
• Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно и треугольными числами (то есть имеют вид $1+2+\ldots+m$), и факториалами (то есть имеют вид $1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$).^[18][19]
• Конечно ли множество решений уравнения $2^n \equiv 3 \pmod n?$ В настоящее время известно только 5 решений.^[20]
• Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?^[21]
• Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвертых степеней четырех рациональных чисел?
• Проблема Варинга

См. также

• Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики

Примечания

1. ↑ Mathematical developments arising from Hilbert problems, стр. 39
2. ↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
3. ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
4. ↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
5. ↑ ^{1 2 3} Ю. В. Матиясевич Упражнение 2.10 // Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993. — 223 с. — (Математическая логика и основания математики; выпуск № 26). — ISBN 502014326X
6. ↑ Jones J. P. (1980). «Undecidable diophantine equations». Bull. Amer. Math. Soc. 3: 859-862. DOI:10.1090/S0273-0979-1980-14832-6.
7. ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
8. ↑ А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
9. ↑ Аналитическая теория чисел
10. ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
11. ↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s Conjecture.
12. ↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
13. ↑ Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a^5+b^5=c^5+d^5? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
14. ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
15. ↑ Weisstein, Eric W. A-Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
16. ↑ последовательность A007320 в OEIS, последовательность A094716 в OEIS
17. ↑ Weisstein, Eric W. Проблема Брокарда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
18. ↑ последовательность A000142 в OEIS
19. ↑ последовательность A000217 в OEIS
20. ↑ Weisstein, Eric W. Число 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
21. ↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки

• Open Problem Garden (англ.)
• Open Questions: Mathematics (англ.)
• The Open Problems Project (англ.)
• Открытые математические проблемы в Google Directory (англ.)
• Видеоклипы о нерешённых математических проблемах
• http://unsolvedproblems.org/