Абсолютная величина

График вещественной функции

Модуль $|z|$ и другие характеристики комплексного числа $z$

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа $x$ — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа $x$. Обозначается: $~|x|$.

В случае вещественного $x$ абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

$\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0. \end{cases}$

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа $~z=x+iy$, также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

$|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина $~|x_1 - x_2|$ означает расстояние между точками $~x_1$ и $~x_2$ и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

• Область определения: $(- \infty ; + \infty )$.
• Область значений: $~ [0; + \infty )$.
• Функция чётная.
• Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке $x = 0$ функция претерпевает излом.

Комплексные числа

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений: $~ [0; + \infty )$.
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых $~a, b \in \mathbb{R}$ имеют место следующие соотношения:

• $~\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \}$ (см. Функция sgn(x)).
• $a \leqslant |a|$
• $-|a| \leqslant a$.

Как для вещественных, так и для комплексных $~a, b$ имеют место соотношения:

• $|a| \geqslant 0$, причём $|a|=0$ тогда и только тогда, когда $~a=0$.
• $|-a| = |a|$.
• $|ab| = |a||b|;~~~ \left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}$.
• $|a+b| \leqslant |a|+|b|$ (неравенство треугольника).
• $|a-b| \leqslant |a|+|b|$.
• $~|a|-|b| \leqslant |a+b|$.
• $~|a \pm b| \geqslant ||a|-|b||$.
• $~|a^k| = |a|^k$, если $~a^k$ существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа.

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую $\|x\|$. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство

Примечания

1. ↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.