Неравенство Бернштейна (математический анализ)

Неравенство Бернштейна в математическом анализе связывает норму производной полинома с нормой самого полинома.

Первое неравенство было установлено российским математиком С. Н. Бернштейном в 1912 году. Пусть $f_n$ --- вещественнозначный тригонометрический полином степени $n$, тогда:

$\|f_n'\|_\infty \leqslant 2n\|f_n\|_\infty$.

Неравенство вскоре было уточнено Э. Ландау:

$\|f_n'\|_\infty \leqslant n\|f_n\|_\infty$.

Здесь константу $n$ уменьшить нельзя.

В 1914 году М. Рисс перенес последнее неравенство на случай тригонометрических полиномов с произвольными комплексными коэффициентами.

В дальнейшем неравенство многократно обобщалось. В частности А. Зигмунд в 1933 году перенес его на пространства $L^p$ при $p \geqslant 1$:

$\|f_n'\|_p \leqslant n\|f_n\|_p$.

В. В. Арестов в 1979 году доказал справедливость неравенства и при $0 \leqslant p < 1$.

Кроме того, стали развиваться и так называемые неравенства Бернштейна для разных метрик вида

$\|f_n'\|_p \leqslant C(n, p) \|f_n\|_\infty$.

Ссылки

• [1]