Неравенство Берри

Неравенство Берри — Эссеена — неравенство, позволяющее оценить скорость сходимости суммы независимых случайных величин к случайной величине с нормальным распределением. Сам факт подобной сходимости носит в теории вероятностей название центральной предельной теоремы. Это неравенство было независимо выведено Эндрю Берри в 1941 и Карлом-Густавом Эссееном в 1942 годах.

Формулировка теоремы

Случай одинаково распределённых величин

Пусть дана бесконечная последовательность $X_n$ независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $M(X_n) = 0, M(X_n^2) = \sigma^2 > 0, M(|X_n^3|) = \rho < \infty$. Обозначим через $F_n$ распределение суммы вида $\sum_{i=1}^n X_i / \sigma \sqrt{n}$. Тогда для всех $x$ и $n$

$\left|F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq \frac{C\rho}{\sigma^3 \sqrt{n}}$,

где $\mathcal{N}$ обозначает стандартное нормальное распределение, а $C$ — это некоторая константа, значение которой продолжает уточняться. По последним данным, $C < 0.4784$.^[1]

Разнораспределённые случайные величины

Похожий результат можно получить и в случае, когда слагаемые распределены различно. Пусть $X_k$ — это независимые случайные величины, $M(X_k) = 0, M(X_k^2) = \sigma_k^2, M(|X_k^3|) = \rho_k$. Введём обозначения: $s_n^2 = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2, r_n = \sum_{i=1}^n \rho_i$. Обозначим через $F_n$ распределение случайной величины вида $\sum_{i=1}^n X_i / s_n$. Тогда для всех $x$ и $n$

$\left| F_n(x) - \mathcal{N}(x)\right| \leq C \frac{r_n}{s_n^3}$.

Примечания

1. ↑ Korolev, Shevtsova, 2010

Литература

• В. Фёллер «Введение в теорию вероятностей и её приложения». — 2. — Книжный дом «Либроком», 2009. — Т. 2.
• Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. "On the upper bound for the absolute constant in the Berry-Esseen inequality" // Theory of Probability and its Applications. — 2010.