Модель авторегрессии и распредёленного лага

Модель авторегрессии и распределённого лага (ADL-модель, англ. autoregressive distributed lags) — модель временного ряда, в которой текущие значения ряда зависят как от прошлых значений этого ряда, так и от текущих и прошлых значений других временных рядов. Модель $ADL(p, q)$ с одной экзогенной переменной имеет вид:

$y_t=a_0+\sum_{i=1}^p a_i y_{t-i}+\sum_{j=0}^q b_j x_{t-j}+\varepsilon_t$

Модель $ADL(p,0)$ — это модель авторегрессии AR(p) (в общем случае, возможно с экзогенной переменной без лагов), а модель $ADL(0,q)$ — это модель распределенного лага $DL(q)$.

Модель обобщается на случай нескольких экзогенных переменных $x$. В этом случае возможно обозначение модели $ADL(p,q_1,q_2, \dots, q_k)$, где $k$ — количество экзогенных переменных, $q_i$-количество лагов $i$-ой переменной, входящих в модель. В общем случае, можно считать, что все экзогенные переменные включены в модель с одинаковым количеством лагов, а исключение какого-либо лага некоторых переменных означает лишь ограничение на модель. Поэтому иногда используют обозначение $ADL(p, q;k)$, $k$ — количество экзогенных переменных, $q$ — количество лагов. Наложение ограничений на коэффициенты этой модели приводит к тем или иным вариациям. В таком обозначении, классическая модель $ADL(p, q)$ будет обозначаться как $ADL(p, q;1)$.

Операторное представление

С помощью лагового оператора $L:~Lx_t=x_{t-1}$ модели авторегрессии и распределённого лага можно записать следующим образом:

$y_t=a_0+(\sum_{i=1}^p a_i L^i) y_t+(\sum_{j=0}^q b_jL^j) x_t+\varepsilon_t$

Или в сокращённой форме:

$a(L)y_t=a_0+b(L)x_t+\varepsilon_t, ~~a(L)=1-(\sum_{i=1}^p a_i L^i), ~~b(L)=(\sum_{j=0}^q b_jL^j)$

Если корни характеристического авторегрессионного полинома $a(z)$ лежат вне единичного круга (в комплексной плоскости), то ADL-модель можно представить в виде модели бесконечного распределённого лага:

$y_t=\frac {a_0} {a(L)}+\frac {b(L)} {a(L)}x_t+\varepsilon_t$

Если в это выражение подставить вместо лагового оператора $L$ значение 1, получим модель долгосрочной зависимости между переменными $y$ и $x$:

$y^*_t=\frac {a_0} {a(1)}+\frac {b(1)} {a(1)}x^*_t+\varepsilon_t=\frac {a_0} {1-\sum_{i=1}^p a_i}+\frac {\sum_{j=0}^q b_j} {1-\sum_{i=1}^p a_i}x^*_t+\varepsilon_t$

Коэффициент при экзогенной переменной называется долгосрочным мультипликатором. Содержательная интерпретация этого следующая. Модели распределённого лага (DL-модели) позволяют учесть запаздывающее влияние факторов (наряду с текущим). Коэффициенты DL-модели $b_j$ называют импульсными мультипликаторами. Они показывают влияние запаздыванием на $j$ периодов на эндогенную переменную. Однако в каждый момент времени оказывают влияние несколько лаговых значений фактора, поэтому в долгосрочной перспективе коэффициент влияния фактора (долгосрочный мультипликатор) равен сумме импульсных мультипликаторов. Добавление к модели распределённого лага авторегрессионной части позволяет учесть кроме прямого влияния и опосредованное — через влияние прошлых значений зависимой переменной на её же будущие значения. Знаменатель в формуле долгосрочного мультипликатора и учитывает авторегрессионное увеличение мультипликативного эффекта.

Исходя из наличия долгосрочной модели модель ADL можно представить в несколько ином виде — в ECM-представлении (англ. error correction model — модель коррекции ошибок):

$\triangle y_t =\sum_{i=1}^{p-1}\alpha_i \triangle y_{t-i}+ \sum_{j=0}^{q-1} \beta_j \triangle x_{t-j} -a(1) (y_{t-1}-\frac {a_0} {a(1)}-\frac {b(1)} {a(1)}x_{t-1})+\varepsilon_t$

Выражение в скобках отражает отклонение от долгосрочной зависимости в предыдущий момент времени. Остальная часть уравнения отражает краткосрочную зависимость. Таким образом, в таком представлении видно, что краткосрочная динамика корректируется в зависимости от степени отклонения от долгосрочной.

Пример

Рассмотрим модель $ADL(1,1)$:

$y_t=a_0+a_1y_{t-1}+b_0 x_t+b_1 x_{t-1}+\varepsilon_t$

ECM-представление данной модели имеет вид:

$\triangle y_t=b_0 \triangle x_t+(1-a_1) (y_{t-1}-\frac {a_0} {1-a_1}-\frac{b_0+b_1} {1-a_1}x_{t-1})+\varepsilon_t$

Таким образом краткосрочная зависимость выражается коэффициентом $b_0$ реакции на изменение фактора по сравнению с прошлым периодом. Однако, такая реакция корректируется в зависимости от отклонения от долгосрочной зависимости между переменными. Долгосрочный мультипликатор в данном случае равен $(b_0+b_1)/(1-a_1)$

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Викифицировать статью. Проставить интервики в рамках проекта Интервики.