Модель Ходжкина

Модель Ходжкина — Хаксли — математическая модель, описывающая генерацию и распространение потенциалов действия в нейронах и других электрически возбуждаемых клетках — таких, например, как сердечные миоциты. Модель представляет собой комплекс ординарных дифференциальных уравнений, которая описывает характеристики электрического сигнала.

Модель была разработана Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли в 1952 году для описания электрических механизмов, которые обусловливают генерацию и передачу нервного сигнала в гигантском аксоне кальмара^[1]. За это авторы модели получили Нобелевскую премию в области физиологии и медицины за 1963 год.

Основные компоненты

Основные компоненты модели Ходжкина — Хаксли. Модель Ходжкина — Хаксли представляет собой биофизические характеристики клеточных мембран.

Компоненты электрической схемы, что соответствует модели Ходжкина — Хаксли, изображены на рисунке. В данной схеме каждый компонент возбуждаемой клетки имеет свой биофизический аналог. Внутреннему липидному слою клеточной мембраны соответствует электроёмкость ($C_m$). Потенциал-зависимые ионные каналы отвечают за нелинейную электрическую проводимость ($G_n$, где $n$ — отдельный вид ионных каналов), это означает, что проводимость является потенциал-время-зависимой величиной. Эта составляющая системы, как было показано исследователями позже, реализуется благодаря белковым молекулам, которые образуют потенциал-зависимые ионные каналы, каждый из которых отмечен некоторой вероятностью открытия, величина которой зависит от электрического потенциала (или электрического напряжения) мембраны клетки. Каналы мембранных пор отвечают за пассивную проводимость ($G_L$, где индекс $L$ означает англ. Leak — течь). Электрохимический градиент, побуждает ионы к движению через мембранные каналы, он показан с помощью аккумуляторов с соответствующим электродвижущей силой ($E_n$ и $E_L$), величина которой определяется реверсивным потенциалом (англ.) для соответствующего вида иона. Ионные транспортеры соответствуют источникам тока ($I_p$).

Производная по времени от мембранного потенциала клеточной мембраны ($\dot{V}_m$) при описанных условиях пропорциональна сумме токов в полной электрической цепи. Она описывается следующим уравнением:

$\dot{V}_m=-\frac{1}{C_m}\left(\sum\limits_i I_i\right),$

где $I_i$ означает величину электрического тока, генерируемого отдельным видом ионов.

Характеристики ионного тока

Электрический ток, проходящий через ионные каналы, может быть математически выражен следующим уравнением:

$I_i(V_m,\;t)=(V_m-E_i)g_i,$

где $E_i$ — равновесный потенциал $i$-го ионного канала. В случае потенциал-зависимых ионных каналов канальная проводимость $g_i$ является функцией времени и потенциала (электрического напряжения) — $g_n(t,\;V)$ на рисунке, в то время как пассивная проводимость является величиной постоянной ($g_L$ на рисунке). Ток, генерируемый ионными транспортерами, зависит от вида ионов, который переносит соответствующий транспортёр. Ниже приведено более подробное описание перечисленных величин:

Потенциал-зависимые ионные каналы

В терминах модели Ходжкина — Хаксли проводимость потенциал-зависимых каналов ($g_n(t,\;V)$) описывается следующим образом:

$g_n(V_m,\;t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta;$

$\dot{\varphi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\varphi}(\varphi_\infty-\varphi);$

$\dot{\chi}(V_m,\;t)=\frac{1}{\tau_\chi}(\chi_\infty-\chi),$

где $\varphi$ и $\chi$ являются константами скорости реакций закрытия и открытия каналов, соответственно. Они численно равны доле от максимальной возможной проводимости через данный вид каналов в каждый момент времени при каждой величине мембранного потенциала. $\bar{g}_n$ является максимальным возможным значением проводимости. $\alpha$ и $\beta$ — константы, $\tau_\varphi$ и $\tau_\chi$ — временны́е константы процессов активации и деактивации каналов, соответственно. $\varphi_\infty$ и $\chi_\infty$ является стабилизированными значениями $\varphi_\infty$ и $\chi_\infty$ при величине времени, стремящимся к бесконечности, и обычно рассчитываются из уравнения Больцмана как функции $V_m$.

Для характеристики ионных каналов, последние два уравнения модифицируются для условий, когда на мембране поддерживается постоянная величина электрического потенциала — модификация уравнений Ходжкина — Хаксли, сделанная Марквардтом^[2] . Когда мембранный электрический потенциал поддерживается на постоянном уровне (voltage-clamp), для каждого значения этого потенциала нелинейные уравнения, описывающие пропуск ионов через каналы, редуцируются к линейных дифференциальных уравнений следующего вида:

$\varphi(t)=\varphi_0-\left[(\varphi_0-\varphi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\varphi})\right];$

$\chi(t)=\chi_0-\left[(\chi_0-\chi_\infty)(1-e^{-t/\tau_\chi})\right].$

Таким образом, для каждого значения мембранного потенциала $V_m$, величина электрического тока описывается следующим уравнением:

$I_n(t)=\bar{g}_n\varphi^\alpha\chi^\beta(V_m-E_n).$

Для аппроксимации кривых, которые генерируют данные уравнения, до значений клеточных токов при фиксированном значении мембранного потенциала используется алгоритм Левенберга — Марквардта^[3][4], что является модифицированным алгоритмом Гаусса — Ньютона.

Пассивные каналы

Пассивные каналы отвечают за проницаемость мембраны для ионов в спокойном состоянии (не во время проведения потенциала действия), и ток через них описывается теми же уравнениями, что и для потенциал-зависимых каналов, но при условии постоянной величины проводимости $g_i$ ($g_i=\mathrm{const}$).

Ионные транспортеры

Мембранный электрический потенциал генерируется с помощью поддержания концентрационных градиентов ионов, присутствующих в физиологических жидкостях организма, относительно клеточной мембраны. Наиболее важными из белков-транспортеров, которые поддерживают мембранный потенциал, является натриево-кальциевый (транспортирует один ион Са²⁺ внутрь клетки в обмен на 3 иона Na⁺ , транспортируемых наружу), натриево-калиевый (транспортирует один ион Na⁺ наружу в обмен на один ион К⁺ внутрь) и хлорный (транспортирует из клетки наружу ионы Cl⁻)^[5][6].

Модификации и альтернативные модели

Модель Ходжкина — Хаксли является одним из важнейших достижений в биофизике и нейрофизиологии XX-го века. Со временем она была модифицирована в следующих направлениях:

• Основываясь на экспериментальных данных, в ней были инкорпорированы дополнительные виды ионных каналов и транспортеров.
• Основываясь на данных микроскопии высокого разрешения, в уравнение добавлены элементы, характеризующие сложную морфологию отростков нервных клеток (аксонов и дендритов).

Также на общих принципах модели Ходжкина — Хаксли были разработаны несколько моделей, описывающих взаимную активацию и деактивацию в нейронных сетях, а также молекулярную динамику генерации потенциала действия.

Литература

1. ↑ Hodgkin, A., and Huxley, A. (1952): A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve. J. Physiol. 117:500-544.
2. ↑ Marquardt, D. (1963): An algorithm for the least-squares estimation of nonlinear parameters. SIAM J. Appl. Math. 11 (2):431-441.
3. ↑ Levenberg, K. (1944): A method for the solution of certain non-linear problems in least-squares. Q. Appl. Math. 2 (2):164-168.
4. ↑ Johnston, D., and Wu, S. (1997): Foundations of Cellular Neurophysiology, chapter 6. MIT Press, Cambridge, MA. — ISBN 0-262-10053-3.
5. ↑ Hille, B. (2001): Ionic Channels of Excitable Membranes. — (3rd ed.). — Sinauer Associates, Inc., Sunderland, MA. — ISBN 0-87893-321-2
6. ↑ Encyclopedia of Neuroscience. — 3rd edition. — Elsevier Science, 2004. — ISBN 0-444-51432-5

Ссылки

• Модель Ходжкіна-Хакслі // Википедия на украинском языке (лицензия GFDL; история правок источника).
• Интерактивный Java-апплет модели Ходжкина — Хаксли. Параметры модели и параметры возбуждения могут меняться; возможно построение диаграмм изменения значений переменных.
• Интерактивный Java-апплет уравнений Ходжкина — Хаксли Программа для многочисленного решения дифференциальных уравнений Ходжкина — Хаксли.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть первая: Сurrents carried BY Sodium AND Potassium ions Through The Membrane Of The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть вторая: The Components Of Membrane conductance In The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть третья: The Dual Effect Of Membrane Potential On Sodium conductance In The Giant AXON Of Loligo.
• Статья Ходжкина и Хаксли с описанием модели генерации потенциала действия. Часть четвёртая: A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve.
• Neural Impulses: The Action Potential In Action. by Garrett Neske, The Wolfram Demonstrations Project.