abc-гипотеза

abc-гипотеза (гипотеза Эстерле — Массера) — утверждение в теории чисел, сформулированное независимо Джозефом Эстерле в 1988 году^[1] и Дэвидом Массером в 1985 году.^[2]

В августе 2012 года японский математик Синъити Мотидзуки заявил, что ему удалось доказать эту гипотезу.^[3] В октябре того же года Веселин Димитров и Акшай Венкатеш (Akshay Venkatesh) обнаружили ошибку в доказательстве. Мотидзуки признал этот факт, но заявил, что данная ошибка не влияет на основные результаты, а также обещал в ближайшее время опубликовать исправленную версию.

Формулировка

При данном $\varepsilon>0$ существует постоянная $K(\varepsilon)$, при которой для любых трёх взаимно простых целых чисел a, b и c, таких, что $a+b=c$, выполняется неравенство: $\max(|a|,|b|,|c|)\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon}$, где $\operatorname{rad}(abc)$ — радикал целого числа.

Не теряя общности, можно рассматривать только натуральные числа a, b и c. Тогда неравенство сводится к следующему:

$c\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(abc)\right)^{1+\varepsilon}$,

Иначе, для любого действительного числа $r>1$ существует конечное число троек взаимно простых натуральных чисел $a, b$ и $c=a+b$, для которых выполняется условие:

$c > \operatorname{rad}(abc)^r$.

Замечание

Условие $r>1$ необходимо. Существует бесконечно много троек взаимно простых чисел $a, b, c=a+b$ таких, что $c>\operatorname{rad}(abc)$. Таковыми будут, например, все тройки вида $a=1, b=2^{6n}-1, c=2^{6n}$

Доказательство гипотезы Биля

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Биля для достаточно больших $z$, а из неё — справедливость великой теоремы Ферма для достаточно больших степеней.^[4]

Доказательство гипотезы Биля на основе abc-гипотезы  

Согласно гипотезе Биля, если $A^x+B^y=C^z$ (A, B, C, x, y, z — натуральные и $x,\;y,\;z>2$), то A, B, C имеют общий делитель.

Докажем гипотезу Биля для достаточно больших $z$ от противного. Предположим, существует бесконечное количество $z$, для которых гипотеза Биля неверна. Применим abc-гипотезу, согласно которой:

$C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(A^xB^yC^z)\right)^{1+\varepsilon}$

Учтём, что $\operatorname{rad}(A^xB^yC^z)=\operatorname{rad}(ABC)\leqslant ABC$. Поэтому:

$C^z\leqslant K(\varepsilon)\cdot \left(\operatorname{rad}(ABC)\right)^{1+\varepsilon}\leqslant K(\varepsilon)\cdot(ABC)^{1+\varepsilon}$

Поскольку $ABC\leqslant C^3$, то:

$C^z \leqslant K(\varepsilon)\cdot C^{3+3\varepsilon}$

Прологарифмировав обе части неравенства и разделив на $\log C$, получим ограничение сверху на величину z:

$z\leqslant \frac{\log K(\varepsilon)}{\log C}+3+3\varepsilon$,        (*)

причём, отношение $\frac{\log K(\varepsilon)}{\log C}$ должно быть конечным, поскольку, по условию A, B, C — натуральные (то есть $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow\; C\geqslant 2$)

Таким образом, можно найти некоторое конечное значение $z$, для которого неравенство (*) не выполняется, то есть abc-гипотеза здесь не справдлива, а значит сделанное предположение о неверности гипотезы Биля для достаточно больших $z$ ошибочно.

Доказательство гипотезы Пиллаи

Из справедливости abc-гипотезы следует справедливость гипотезы Пиллаи, а из неё — справедливость гипотезы Каталана.

Примечания

1. ↑ J. Oesterlé Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (фр.) // Séminaire N. Bourbaki. — 1988. — Т. 694. — С. 165–186. — ISSN 0303-1179.
2. ↑ D. W. Masser Open problems (англ.) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / W. W. L. Chen. — London: Imperial College, 1985. — Т. 25.
3. ↑ Японский математик заявил о доказательстве АВС-гипотезы, Lenta.ru (11 сентября 2012). Проверено 11 сентября 2012.
4. ↑ R. Daniel Mauldin A Generalization of Fermat’s Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem (англ.) // Notices of the AMS. — 1985. — Т. 44. — № 11. — С. 1436-1437.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. abc Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Дмитрий Орлов. АВС-гипотеза и ее следствия [Лекция]. (18 апреля 2011). Проверено 20 сентября 2012.
• Лекция про АВС-гипотезу (by Keith Conrad).