Алгебра Темперли

Алгебра Темперли — Либа, в статистической механике — алгебра, при помощи которой строятся некоторые трансфер-матрицы. Открыты Невиллом Темперли и Эллиотом Либом. Также алгебра применяется в теории интегрируемых моделей, имеет отношение теории узлов и групп кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо (чаще всего это просто поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент $\delta \in R$. Алгеброй Темперли-Либа $TL_n(\delta)$ называется $R$-алгебра образованная генераторами $U_1, U_2, \ldots, U_{n-1}$, подчиняющимися соотношениям Джонса:

• $U_i^2 = \delta U_i$ при $1 \leq i \leq n-1$
• $U_i U_{i+1} U_i = U_i$ при$1 \leq i \leq n-2$
• $U_i U_{i-1} U_i = U_i$ при $2 \leq i \leq n-1$
• $U_i U_j = U_j U_i$ при $1 \leq i,j \leq n-1$, таких что $|i-j| \neq 1$

$TL_n(\delta)$ можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по $n$ точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов $TL_3(\delta)$ выглядят следующим образом:

.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл дает множитель δ. Например:

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор $U_i$ — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами $TL_5(\delta)$ являются:

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U₁, U₂, U₃, U₄.

Соотношения Джонса можно пронаблюдать графически:

= δ

=

=

Ссылки для дальнейшего изучения

• Louis H. Kauffman, State Models and the Jones Polynomial. Topology, 26(3):395-407, 1987.
• R.J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics Academic Press Inc. (1982)
• N. Temperley, E. Lieb, Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251—280.

Для улучшения этой статьи желательно?: Викифицировать статью. Проставив сноски, внести более точные указания на источники.