Уравнения Лагранжа (гидромеханика)

Уравнения Лагранжа (в гидромеханике) — дифференциальные уравнения движения частиц несжимаемой идеальной жидкости в переменных Лагранжа, имеющие вид:

$\left(X-\frac{\partial^2 x}{\partial t^2}\right) \frac{\partial x}{\partial a_i} + \left(Y-\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\right) \frac{\partial y}{\partial a_i}+ \left(Z-\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}\right) \frac{\partial z}{\partial a_i} = \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial a_i}, \qquad (i=1,2,3), \qquad (1)$

где $t$ — время, $x$, $y$, $z$ — координаты частицы жидкости, $a_1$, $a_2$, $a_3$ — параметры, с помощью которых отличают частицы среды друг от друга (этими параметрами могут быть значения координат $x_0$, $y_0$, $z_0$ в некоторый момент времени $t_0$),$X$, $Y$, $Z$ — проекции объёмных сил, $p$ — давление, $\rho$ — плотность. Получены Ж. Лагранжем около 1780.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Лагранжа сводится к тому, чтобы, зная $X$, $Y$, $Z$, а также начальные и граничные условия, определить $x$, $y$, $z$, $p$, $\rho$ как функции времени и параметров $a_1$, $a_2$, $a_3$. Для решения этой задачи необходимо к уравнениям (1) присоединить уравнение неразрывности, имеющее в переменных Лагранжа вид и уравнение состояния $\rho = f(p)$ для баротропного движения или $\rho = \mathrm{const}$ для несжимаемой жидкости. Если зависимости $x$, $y$, $z$ от $a_1$, $a_2$, $a_3$, $t$ найдены, то траектории, скорости и ускорения частиц определяются обычными методами кинематики точки.

$\rho (a_1,a_2,a_3,t) \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial a_1} & \frac{\partial y}{\partial a_1} &\frac{\partial z}{\partial a_1} \\ \frac{\partial x}{\partial a_2} & \frac{\partial y}{\partial a_2} &\frac{\partial z}{\partial a_2} \\ \frac{\partial x}{\partial a_3} & \frac{\partial y}{\partial a_3} &\frac{\partial z}{\partial a_3} \end{vmatrix} = \rho_0 (a_1,a_2,a_3,t_0) \begin{vmatrix} \frac{\partial x_0}{\partial a_1} & \frac{\partial y_0}{\partial a_1} &\frac{\partial z_0}{\partial a_1} \\ \frac{\partial x_0}{\partial a_2} & \frac{\partial y_0}{\partial a_2} &\frac{\partial z_0}{\partial a_2} \\ \frac{\partial x_0}{\partial a_3} & \frac{\partial y_0}{\partial a_3} &\frac{\partial z_0}{\partial a_3} \end{vmatrix} \qquad \qquad (2)$

Обычно при решении задач гидромеханики пользуются уравнениями Эйлера. Уравнения Лагранжа применяются главным образом при изучении нестационарных движений, в частности колебательных движений жидкости, в некоторых вопросах теории турбулентности.

Литература

• Кочин H. E., Кибель И. A., Pозе H. В., Теоретическая гидромеханика, ч. 1, 6 изд., ч. 2, 4 изд., M., 1963
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M., Гидродинамика, 3 изд., M., 1986; Прандтль Л., Гидроаэромеханика, пер. с нем., M., 1949
• Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 5 изд., M., 1978
• Кларк Д., Макчесни M., Динамика реальных газов, пер. с англ., M., 1967
• Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 1-2, 4 изд., M., 1983-84.

Связать^?

На эту статью не ссылаются другие статьи Википедии. Пожалуйста, воспользуйтесь подсказкой и установите ссылки в соответствии с принятыми рекомендациями.