Лагранжа уравнения это:

Лагранжа уравнения
         1) в гидромеханике — уравнения движения жид кой среды, записанные в переменных Лагранжа, которыми являются координаты частиц среды. Из Л. у. определяется закон движения частиц среды в виде зависимостей координат от времени, а по ним находятся траектории, скорости и ускорения частиц. Обычно этот путь исследования оказывается достаточно сложным, и при решении большинства гидромеханических задач идут другим путём, используя Эйлера уравнения гидромеханики. Л. у. применяют главным образом при изучении колебательных движений жидкости.
         Л. у. являются уравнениями в частных производных и имеют вид:
        
         (i = 1, 2, 3),
         где t — время, х, у, z — координаты частицы, a1, a2, a3 — параметры, которыми отличаются частицы друг от друга (например, начальные координаты частиц), X, Y, Z — проекции объёмных сил, р — давление, ρ — плотность.
         Решение конкретных задач сводится к тому, чтобы, зная X, Y, Z, а также начальные и граничные условия, найти х, у, z, р, ρ как функции t и а1, a2, a3. При этом надо использовать ещё Неразрывности уравнение (тоже в переменных Лагранжа) и уравнение состояния в виде ρ = f(Р) (для несжимаемой жидкости ρ — const).
         2) В общей механике — уравнения, применяемые для изучения движения механической системы, в которых за величины, определяющие положение системы, выбирают независимые между собой параметры, называют обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Впервые получены Ж. Лагранжем в 1760.
         Движение механической системы можно изучать, используя или непосредственно уравнения, которые даёт 2-й закон динамики, или получаемые как следствия из законов динамики общие теоремы (см. Динамика). Первый путь приводит к необходимости решать большое число уравнений, зависящее от числа точек и тел, входящих в систему; кроме того, эти уравнения содержат дополнительные неизвестные в виде реакций наложенных связей (см. Связи механические). Всё это приводит к большим математическим трудностям. Второй путь требует применения каждый раз разных теорем и для сложных систем приводит в итоге к тем же трудностям.
         Л. у. дают для широкого класса механических систем единый и достаточно простой метод составления уравнений движения, не зависящий от вида (сложности) конкретной системы. Большое преимущество Л. у. состоит в том, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от количества входящих в систему точек и тел. Например, машины и механизмы состоят из многих тел (деталей), а имеют обычно 1—2 степени свободы; следовательно, изучение их движения потребует составления лишь 1—2 Л. у. Кроме того, при идеальных связях из Л. у. автоматически исключаются все неизвестные реакции связей. По этим причинам Л. у. широко используются при решении многих задач механики, в частности в динамике машин и механизмов, в теории колебаний, теории гироскопа и др. Кроме этого, в случае, когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. приводятся к виду, позволяющему использовать их (при соответствующем обобщении понятий) не только в механике, но и в др. областях физики.
         Для голономных систем (См. Голономные системы) Л. у. в общем случае имеют вид:
        
         (i = 1,2, ..., n),
         где qi — обобщённые координаты, число которых равно числу n степеней свободы системы, qi — обобщённые скорости, Qi — обобщённые силы, Т — кинетическая энергия системы, выраженная через qi и qi.
         Для составления уравнений (1) надо найти выражение Т и вычислить по заданным силам Qi. После подстановки Т в левые части уравнения (1) будут содержать координаты qi и их первые и вторые производные по времени, т. е. будут дифференциальными уравнениями 2-го порядка относительно qi. Интегрируя эти уравнения и определяя постоянные интегрирования по начальным условиям, находят зависимости qi(t), т. е. закон движения системы в обобщённых координатах.
         Когда на систему действуют только потенциальные силы, Л. у. принимают вид:
        
         (i = 1,2, ..., n),
         где L = Т — П — т. н. функция Лагранжа, а П — потенциальная энергия системы. Эти уравнения используются и в др. областях физики.
         Уравнения (1) и (2) называют ещё Л. у. 2-го рода. Кроме них, есть Л. у. 1-го рода, имеющие вид обычных уравнений в декартовых координатах, но содержащие вместо реакций связей пропорциональные им неопределённые множители. Особыми преимуществами эти уравнения не обладают и используются редко, главным образом для отыскания реакций связей, когда закон движения системы найден другим путём, например с помощью уравнений (1) или (2).
        
         Лит. см. при ст. Механика. О Л. у. в гидромеханике см. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963.
         С. М. Тарг.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Лагранжа уравнения" в других словарях:

  • ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — 1) в гидромеханике ур ния движения жидкости (газа) в переменных Лагранжа, к рыми являются координаты ч ц среды. Получены франц. учёным Ж. Лагранжем (J. Lagrange; ок. 1780). Из Л. у. определяется закон движения ч ц среды в виде зависимостей… …   Физическая энциклопедия

  • ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… …   Физическая энциклопедия

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных ЛАгранжа t, a1, a2, а3. Л. у.… …   Энциклопедия техники

  • ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ — механики обыкновенные дифференциальные уравнения 2 го порядка, описывающие движения механич. систем под действием приложенных к ним сил. Л. у. установлены Ж. Лаг ранжем [1] в двух формах: Л. у. 1 го рода, или уравнения в декартовых координатах с… …   Математическая энциклопедия

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) — система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных Лагранжа t, a1, a2, a3.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Лагранжа уравнения — в аэро и гидродинамике (по имени Ж. Л. Лагранжа) — система трёх уравнений, выражающая закон сохранения импульсов (см. Сохранения законы) при движении идеальной жидкости, записанная в так называемых переменных Лагранжа t, a1, a2, a3.… …   Энциклопедия «Авиация»

  • Уравнения Лагранжа — Уравнения Лагранжа: Уравнения Эйлера Лагранжа Уравнения Лагранжа первого рода Уравнения Лагранжа второго рода Уравнение Лагранжа Даламбера …   Википедия

  • ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ — (кинетический потенциал), характеристич. функция L(qi, q i, t) механич. системы, выраженная через обобщённые координаты qi, обобщённые скорости q i и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетич. Т и… …   Физическая энциклопедия

  • Уравнения Лагранжа первого рода — У этого термина существуют и другие значения, см. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода  дифференциальные уравнения движения механической системы, записанные в декартовых координатах и содержащие множители Лагранжа. Уравнения… …   Википедия

  • Уравнения движения — Уравнение движения (уравнения движения) уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или сходной динамической системы (например, поля) во времени[1]. Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями… …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «Лагранжа уравнения» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»