ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ это:

ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ

- математическое выражение основных законов сохранения массы, импульса, энергии газа, описывающих состояние газа. Газ есть совокупность большого числа частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотич. движении. Учет взаимодействия и движения каждой частицы газа является чрезвычайно трудной проблемой, поэтому для описания состояния газа применяют статистический или континуальный подход. При таком подходе состояние ансамбля частиц газа характеризуется функцией распределения частиц, определенной или в 7-мерном фазовом пространстве или 4-мерном пространстве В первом случае рассматривается скалярная функция распределения


в к-рой величины - непрерывно меняющиеся аргументы, и меняются в конечных или бесконечных интервалах, Сама функция удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Больцмана (см. Больцмана уравнение, Кинетическое уравнение).или же, в зависимости от физич. предпосылок, другим уравнениям (см. Боголюбова цепочка уравнений, Власова кинетическое уравнение). Во втором случае функция распределения, описывающая состояние газа, является векторной функцией


зависящей от четырех аргументов непрерывно и независимо меняющихся в интервалах В этом случае под частицей, строго говоря, следует понимать материальный элемент газа, занимающий бесконечно малый объем и обладающий определенной скоростью к-рая является функцией аргументов Здесь -плотность газа, т. е. масса газа, приходящаяся на единицу объема, - полная энергия единицы массы газа, - внутренняя энергия единицы массы газа.

В предположении локального термодинамич. равновесия из уравнений Больцмана следуют законы сохранения газовой динамики в интегральной форме. В инер-циальной ортонормированной системе координат:


где - объем пространства, ограниченный поверхностью . Соотношения (1) справедливы для произвольного объема с границей -мерном фазовом пространстве . Величины в трехмерном случае имеют следующий вид:

(2)


- давление газа, - температура газа, - символ Кронекера, - коэффициент вязкости сжатия, - коэффициент вязкости сдвига, - коэффициент теплопроводности. При записи формул употребляются правила записи формул тензорного анализа.

Для гладких течений получается система дифференциальных уравнений в дивергентной форме:


Эта система уравнений становится замкнутой после присоединения уравнений состояния. В случае термодина-мич. равновесия уравнения состояния принимают вид:


В неравновесном случае эти величины могут зависеть от градиентов функции течения.

Представление (2) имеет определенный физич. смысл: соответствует конвективным потокам массы, импульса, энергии, - шаровой недиссипативной части тензора напряжений, т. е. давлению, - диссипативной части напряжений (вязкость, диффузия тепла) и используется в методе расщепления для получения эффективных схем интегрирования задач газовой динамики.

Для описания течения газа могут применяться различные системы координат. Кроме системы координат, неподвижно связанной с физич. пространством и являющейся галилеевой (эйлерова система координат), применяются различные подвижные, не обязательно декартовы и галилеевы системы координат. Очень распространенной является лагранжева система координат, связанная с частицами газа. В этой системе координат каждый материальный элемент имеет фиксированную координату. Эйлеров способ состоит в том, что в каждый момент времени tпараметры состояния газа определяются как функции координат (эйлеровы координаты) точки в нек-рой неподвижной системе координат и вектор означает скорость частицы газа, находящейся в момент времени tв точке Способ Лагранжа предполагает задание скорости ии термодинамич. величин для каждой частицы как функций времени t. Зафиксировав частицу газа с помощью параметров получают параметры течения газа как функции от времени (лаг-ранжевы координаты). Связь между эйлеровыми и лагранжевыми координатами имеет вид:


где - эйлеровы координаты частицы, находившейся в момент времени t=0 в точке В случае одной пространственной переменной при условии, что газодинамич. переменные являются непрерывно дифференцируемыми функциями, уравнения вязкого теплопроводного газа имеют вид: в эйлеровых координатах


в лагранжевых координатах


где


Для произвольной подвижной системы координат во многих случаях целесообразно одновременно преобразовывать компоненты скорости по тензорному закону. Если


есть преобразование пространственных координат, при к-ром временная координата не изменяется, то отображение (5) можно связать с самим течением газа и тогда оно будет определять поле локальных систем координат, зависящих от самого течения. Возможны и более общие преобразования, включающие изменение временной координаты.

Большую роль в теории Г. д. у. и в приложениях играет анализ малых параметров (- коэффициент сжимаемости), входящих в уравнения (3). Если , то (3) - уравнения идеальной газовой динамики; если то (3) - уравнения Навье - Стокса несжимаемой жидкости. Эти уравнения не принадлежат к типу Коши - Ковалевской. В случае получается система уравнений типа Коши - Ковалевской параболич. типа, не являющаяся сильно параболической. В теории турбулентности и неньютоновых жидкостей коэффициенты могут зависеть от градиентов газодинамич. величин.

Определяющие соотношения (2) и, в частности, уравнения состояния (4) характеризуют тип системы Г. д. у. (3) и ряд ее качественных особенностей. Так, в случае идеального сжимаемого газа система уравнений (3) является гиперболической, если


где энтропия Sопределяется соотношением (второй закон термодинамики)


Условие (6) является локальным, зависит от решения и в нек-рых случаях может нарушаться. Так, в случае уравнения состояния Ван-дер-Ваальса условие (6) может нарушаться, уравнения становятся эллиптическими, решение - неустойчивым.

Законы сохранения (1) позволяют сформулировать обобщенное решение Г. д. у., к-рое уже не обязательно является непрерывным и не удовлетворяет дифференциальным Г. д. у. (3). Полная теория обобщенных решений Г. д. у. не создана, однако хорошо изучены простейшие обобщенные решения, как, напр., ударная волна, центрированная волна разрежения, контактное течение и т. д. Существует гипотеза, согласно к-рой обобщенное решение уравнений идеального сжимаемого газа есть предел соответствующего решения вязкого газа при Это утверждение строго доказано для одномерных ударных волн и в нек-рых частных случаях для уравнений типа


Особый интерес представляют собой стационарные Г. д. у., к-рые в основном связаны с задачами стационарного обтекания тел в бесконечном пространстве или стационарных течений в каналах. В этом случае решение системы уравнений (3) не зависит от t, и система принимает вид:


Для стационарной системы уравнений (7) ставится нек-рая краевая задача, к-рая может быть весьма сложной, а само уравнение (7) может быть как эллиптического, так и смешанного типов. Напр., для задачи обтекания идеального сжимаемого газа в предположении потенциальности течения получается следующее уравнение в двумерном случае:


где - потенциал скорости, квадрат скорости звука может быть определен из интеграла Бернулли:


Для уравнения (8) может быть поставлена задача обтекания данного контура l:


где un- нормальная составляющая вектора скорости по нормали к контуру l. В случае уравнение (8) имеет гиперболич. тип, в случае - эллиптич. тип. Возможен переход от эллиптич. типа к гиперболическому (трансзвуковой поток). Можно показать, что краевая задача в случае трансзвукового обтекания является некорректной, так как сколь угодно малое изменение контура может сделать краевую задачу неразрешимой в классе непрерывных функций.

Большой интерес представляют задачи газодинамич. неустойчивости и турбулентности, к-рые описываются, как правило, в рамках теории несамосопряженных уравнений (уравнение Орра-Зоммерфельда, уравнение Рейнольдса). В связи с практич. приложениями приобрели большое значение Г. д. у., описывающие движение более сложных сред (многофазные среды, неньютоновы жидкости, магнитная гидродинамика). Большинство уравнений математич. физики представляют собой результат линеаризации Г. д. у.

О численном решении задач газовой динамики см. ст. Газовой динамики численные методы.

Лит.:[1] Серрин Дж., Математические основы классической механики жидкости, пер. с англ., М., 1963; [2] Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 1-2, М., 1970; [3] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1954; [4] Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, ч. 1-2, М., 1963; [5] Брановер Г. Г., Цинобер А. М., Магнитная гидродинамика несжимаемых сред, М., 1970; [6] Рождественский В. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, М., 1968.

Ю. И. Шокин, Н. Н. Яненко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ" в других словарях:

  • ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ — методы решения задач газовой динамики на основе вычислительных алгоритмов. Рассмотрим основные аспекты теории численных методов решения задач газовой динамики, записав газовой динамики уравнения в виде законов сохранения в инерциальной… …   Математическая энциклопедия

  • УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ — ур ния, выражающие связь между параметрами состояния физически однородной системы при термодинамич. равновесии. Термическое У. с. связывает давление р с объемом Vи т рой T, а для многокомпонентных систем также с составом (молярными долями… …   Химическая энциклопедия

  • НАВЬЕ - СТОКСА УРАВНЕНИЯ — основные уравнения движения вязкой жидкости, представляющие математическое выражение законов сохранения импульса и массы. Для неустановившегося течения сжимаемой жидкости Н. С. у. в декартовой системе координат могут быть, записаны в виде где… …   Математическая энциклопедия

  • АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ РАЗНОСТНЫМ — приближение дифференциального уравнения системой алгебраич. уравнений относительно значений искомых функций на нек рой сетке, к рое уточняется при стремлении параметра (шага сетки) к нулю. Пусть нек рый дифференциальный оператор, а нек рый… …   Математическая энциклопедия

  • НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — ур ния, не обладающие свойством линейности; применяются в физике как матем. модели нелинейных явлений в разл. сплошных средах. Н. у. м. ф. важная часть матем. аппарата, используемого в фундам. физ. теориях: теории тяготения и квантовой теории… …   Физическая энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ УРАВНЕНИЯ — ур ния, описывающие матем. модели физ. явлений. Теория этих моделей (математическая физи к а) занимает промежуточное положение между физикой и математикой. При построении моделей используют физ. законы, однако методы исследования полученных ур… …   Физическая энциклопедия

  • Власова уравнения — Уравнение Власова  система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учетом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье[1] и позднее излагается в монографии[2] …   Википедия

  • СССР. Естественные науки —         Математика          Научные исследования в области математики начали проводиться в России с 18 в., когда членами Петербургской АН стали Л. Эйлер, Д. Бернулли и другие западноевропейские учёные. По замыслу Петра I академики иностранцы… …   Большая советская энциклопедия

  • Яненко, Николай Николаевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Яненко. Николай Николаевич Яненко Дата рождения: 22 мая 1921(1921 05 22) Место рождения: город Каинск, Томская губерния (ныне Куйбышев Новосибирской области) Дата смерти …   Википедия

  • ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ — численные методы решения методы решения уравнений гииерболпч. типа на основе вычислительных алгоритмов. Различные математич. модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболич. типа. Такие уравнения имеют точные аиалитич.… …   Математическая энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ УРАВНЕНИЯ» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»