Функции Матьё

Функции Матьё — математические специальные функции, являющиеся периодическими решениями уравнения Матьё. Используются при решении различных задач математической физики, в частности, при описании волнового движения с эллиптическими граничными условиями, при изучении явления параметрического резонанса, при изучении нелинейных колебаний в различных разделах теоретической и экспериментальной физики и т. д.

Уравнение Матье

Уравнением Матье называется дифференциальное уравнение вида (каноническая форма):

$\frac{d^2y}{dx^2}+[a-2q\cos (2x) ]y=0.$,

где a и q - параметры, от которых зависит поведение решения (устойчивое или неустойчивое), данную зависимость иллюстрирует диаграмма Айнса-Стретта.

Решения уравнения Матьё

Согласно теореме Флоке, всегда существуют решения уравнения Матьё в виде: $y(x) = \exp (\mu x) \phi (x)$, где $\phi (x)$ имеет период $2 \pi$. При $\mu = 0$ эти решения являются периодическими с периодом $2 \pi$ и называются функциями Матьё. Они обозначаются как: $ce_0(x), ce_1(x), se_1(x), ce_2(x), se_2(x), ...$. Функции Матьё можно представить в виде сумм косинусов или синусов: $ce_{2n}(x)=\sum_k A_k \cos 2kx, ce_{2n+1}(x)=\sum_k B_k \cos (2k+1)x, se_{2n}(x)=\sum_k C_k \sin 2kx, se_{2n+1}(x)=\sum_k D_k \sin (2k+1)x,$, где величины $A_k, B_k, C_k, D_k$ являются функциями от величин $\alpha, \beta$ в уравнении Матьё. Значения $A_k, B_k, C_k, D_k$ можно получить, подставляя решение уравнения Матьё в виде разложения по ряду Фурье в уравнение и приравнивая подобные члены.

См. также

Уравнение Хилла

Литература

• Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. Пер. с англ., М., Атомиздат, 1972, 392 стр.
• Уравнение Матье, EqWorld