Теорема Карунена

Эта статья или раздел — грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой-переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь улучшить перевод. Оригинал можно найти слева в списке «на других языках». Статья, целиком являющаяся машинным переводом, может быть удалена на основании критерия быстрого удаления С2.

В теории случайных процессов теорема Карунена-Лоэва (названа в честь Кари Карунена и Мишеля Лоэва) — представление случайного процесса в виде бесконечной линейной комбинации ортогональных функций, аналогичное представлению рядов Фурье — последовательному представлению функций на ограниченном интервале. В отличие от рядов Фурье, где коэффициенты являются действительными числами и базис представления состоит из синусоидальных функций (то есть, из функций синус и косинус с разными частотами), коэффициенты в теореме Карунена-Лоэва — случайные переменные, и базис представления зависит от процесса. Ортогональные базисные функции, использованные в этом представлении, определяет функция ковариации процесса. Если мы рассматриваем стохастический процесс как случайную функцию F, то есть процесс, в котором функция на интервале [a, b] принимает значение F, то эта теорема может рассматриваться как случайное ортонормальное расширение F.

Центрированный случайный процесс {X_t}_{t ∈ [a, b]} (где центрирование означает, что математические ожидания E(X_t) существуют и равны нулю для всех значений параметра t из [a, b]), удовлетворяющий техническому условию непрерывности, допускает разложение следующего вида:

$\mathbf{X}_t = \sum_{k=1}^\infty \mathbf{Z}_k e_k(t).$

где Z_k — взаимнонекоррелированые случайные величины и функции e_k — непрерывные вещественные функции на [a, b], ортогональные в L² [a, b]. В случае нецентрированного процесса имеет место аналогичное разложение, получаемое разложением функции математического ожидания в базисе e_k.

Если процесс $\mathbf{X}_t$ гауссовский, то случайные величины Z_k — тоже гауссовские и являются независимыми. Этот результат обобщает преобразования Карунена-Лоэва. Важным примером центрированного случайного процесса на интервале [0,1] является винеровский процесс, и теорема Карунена-Лоэва может быть использована для получения канонического ортогонального представления. В этом случае разложение состоит из синусоидальных функций.

Приведенные выше разложения в также известны как разложения или декомпозиция Карунена-Лоэва (эмпирическая версия, то есть, с коэффициентами из исходных числовых данных), как анализ главных компонент, собственное ортогональное разложение или преобразование Хотеллинга.

Формулировка

Сформулируем результат в терминах комплекснозначных стохастических процессов. Результаты могут быть применены к вещественнозначным процессам без модификаций, вспоминая, что число, комплексно-сопряженное с действительным числом, совпадает с ним самим.

Для случайных элементов X и Y скалярное произведение определяется формулой

$\langle \mathbf{X}|\mathbf{Y} \rangle = \operatorname{E}(\mathbf{X^*}\mathbf{Y})$

где * обозначает операцию комплексного сопряжения.

Статистики второго порядка

Скалярное произведение корректно определено, если как $X$, так и $Y$ имеют конечные вторые моменты, или, что то же самое, если они оба квадратично интегрируемы. Отметим, что скалярное произведение связано с ковариацией и корреляцией. В частности, для случайных переменных со средним нулевым значением, ковариация и скалярное произведение совпадают. Функция автоковариации $K_\mathrm{XX}$

$K_\mathrm{XX}(t,s) = \operatorname{Cov}[ X(t),X(s) ] = \langle \mathbf{X}_t | \mathbf{X}_s \rangle$

$= \mathrm{E} \{ [ X(t)-\mu_X(t) ]^* [ X(s)-\mu_X(s) ] \} \,$

$= \mathrm{E} \{ X^*(t) X(s) \} - \mu^*_X(t) \mu_X(s) \,$

$= R_\mathrm{XX}(t,s) - \mu^*_X(t) \mu_X(s) . \,$

Если процесс {X_t}_t центрированный, то

$\mu_X(t) = 0 \,$

для всех t. Таким образом, автоковариация K_XX равна автокорреляции R_XX:

$K_\mathrm{XX}(t,s) = R_\mathrm{XX}(t,s) . \,$

Отметим, что если {X_t}_t центрированный и t₁, ≤ t₂, …, ≤ t_N являются точками на интервале [a, b], следовательно

$\sum_{k,\ell} \operatorname{Cov}_{\mathbf{X}}(t_k,t_\ell) = \operatorname{Var}\left(\sum_{k=1}^N \mathbf{X}_k\right) \geq 0.$

Формулировка теоремы

Теорема. Рассмотрим центрированный случайный процесс {X_t}_t, индексированный t на интервале [a, b] с ковариационной функцией Cov_X. Предположим, что ковариационная функция Cov_X(t,s) непрерывна по совокупности переменных t, s. Тогда Cov_X — положительно определенное ядро, и по теореме Мерсера интегральный оператор T в L²[a,b] (близкой к мере Лебега на [a,b]) имеет ортонормированный базис из собственных векторов . Пусть {e_i}_i являются собственными векторами T, соответствующими ненулевым собственным значениям и

$\mathbf{Z}_i = \int_a^b \mathbf{X}_t e_i(t) dt.$

Тогда Z_i — центрированные ортогональные случайные величины и

$\mathbf{X}_t = \sum_{i=1}^\infty e_i(t) \mathbf{Z}_i$

ряд сходится в среднем квадратичном, а также равномерно по t. Кроме того

$\operatorname{Var}(\mathbf{Z}_i) = \operatorname{E}(\mathbf{Z}_i^2) = \lambda_i.$

где $\lambda_i$ собственное значение, соответствующее собственному вектору $e_i$.

Суммы Коши

В формулировке теоремы интеграл в определении $Z_i$ можно понимать как предел в среднем сумм Коши случайных величин

$\sum_{k=0}^{\ell-1} \mathbf{X}_{\xi_k} e_i(\xi_k) (t_{k+1} - t_k),$

где

$a = t_0 \leq \xi_0 \leq t_1 \leq \cdots \leq \xi_{\ell-1} \leq t_n = b$

Особый случай: гауссовское распределение

Так как предел в среднем квадратичном из совместно гауссовских случайных величин является гауссовским и совместно гауссовские случайные (центрированные) величины независимы тогда и только тогда, когда они являются ортогональными, мы можем также заключить:

Теорема. Случайные величины Z_i имеют гауссовское распределение и являются независимыми, если первоначальный процесс {X_t}_t тоже является гауссовским.

В гауссовском случае, поскольку случайные величины Z_i являются независимыми, мы можем быть уверены в том, что:

$\lim_{N \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^N e_i(t) \mathbf{Z}_i(\omega) = \mathbf{X}_t(\omega)$

почти наверное.

Отметим, что обобщая теорему Мерсера, мы можем заменить интервал [a, b] другими компактными пространствами C , а меру Лебега на [a, b] — борелевской мерой с носителем в C.

Процесс Винера

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем. Здесь мы определяем его как центрированный гауссовский процесс B(t) с ковариационной функцией

$\mathrm{K}_\mathrm{BB}(t,s) = \operatorname{Cov}(B(t),B(s)) = \min (s,t).$

Легко видеть, что собственные векторы ковариации равны

$e_k(t) = \sqrt{2} \sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t$

а соответствующие собственные значения

$\lambda_k = \frac{4}{(2 k -1)^2 \pi^2}.$

Это позволяет получить нам следующее представление винеровского процесса:

Теорема. Существует последовательность {W_i}_i независимых гауссовких случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией такая, что

$\mathbf{B}_t = \sqrt{2} \sum_{k=1}^\infty \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi}.$

Сходимость является равномерной по t в норме L² так, что

$\operatorname{E}\left(\mathbf{B}_t - \sqrt{2} \sum_{k=1}^n \mathbf{W}_k \frac{\sin \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi t}{ \left(k - \frac{1}{2}\right) \pi} \right)^2 \rightarrow 0$

равномерно по t.

Использование

Было высказано мнение, что в проекте SETI, следует использовать преобразования Карунена-Лоэва для обнаружения сигналов с очень широким спектром. Аналогично, в системах адаптивной оптики иногда используют функции Карунена-Лоэва для восстановления информации о фазе фронта волны. (Dai 1996, JOSA A).

См. также

• Метод главных компонент
• Нейронная сеть Кохонена
• Полиномиальный хаос (англ.)

Ссылки

• И. И. Гихман, А. В. Скороход, Введение в теорию случайных процессов.- М.: Наука, 1965.
• B. Simon, Functional Integration and Quantum Physics, Academic Press, 1979
• K. Karhunen, Kari, Uber lineare Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ann. Acad. Sci. Fennicae. Ser. A. I. Math.-Phys., 1947, No. 37, 1-79
• М. Лоев, Теория вероятностей, — М.: ИЛ, 1962.
• G. Dai, Modal wave-front reconstruction with Zernike polynomials and Karhunen-Loeve functions, JOSA A, 13, 6, 1996