- Пуассона процесс
-
Пуассо́на пото́к (проце́сс), (устар. Пуассоновский процесс[1]) — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет Пуассона распределение с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.
Содержание
Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то
Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.[2]
Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.
Классификация
Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).
Простой процесс Пуассона
Пусть λ > 0. Случайный процесс называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью λ, если
- X0 = 0 почти наверное.
- {Xt} — процесс с независимыми приращениями.
- для любых , где P(λ(t − s)) обозначает распределение Пуассона с параметром λ(t − s).
Сложный (обобщённый) Пуассоновский процесс
- Пусть ξ1,...,ξn последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
- Пусть N(t) - простой пуассоновский процесс с интенсивностью λ, не зависящий от последовательности ξ1,...,ξn.
Обозначим через Sk cумму первых k элементов введённой последовательности.
Тогда определим сложный Пуассоновский процесс {Yt} как SN(t) .
Свойства
- Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того
- .
- Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно
- при ,
где o(h) обозначает «о малое».
- Пуассоновский процесс стационарен.
Критерий
Для того чтобы некоторый случайный процесс {Xt} с непрерывным временем был Пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:
- X0 = 0.
- Процесс имеет независимые приращения.
- Процесс однородный.
- Процесс принимает целые неотрицательные значения.
- при .
Информационные свойства
- Пусть — моменты скачков процесса Пуассона. T = τj − τj − 1.
Зависит ли T от предыдущей части траектории?
— ?Пусть .
.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.- Рассмотрим отрезок [a,b] на временно́й оси.
X(b) − X(a) = n — число скачков на отрезке [a,b].
Условное распределение моментов скачков совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины n из R[a,b].Плотность этого распределения
ЦПТ
- Теорема.
Скорость сходимости:
,
где C0 — константа Берри-Эссеена.Применение
Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Так же возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.
Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчетом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчетам.
Примечания
- ↑ «Математическая энциклопедия» / Главный редактор И. М. Виноградов — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — Т. 4. — 1104 с. — 148 800 экз.
- ↑ Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — С. 534. — 751 с. — (С48). — 50000 экз. — ISBN 5-88500-008-5.
См. также
Категории:- Статьи с упоминанием устаревших значений
- Случайные процессы
- Марковские процессы
Wikimedia Foundation. 2010.