Формулы Виета

Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Формулировка

Если $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ — корни многочлена

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты $a_1, \ldots, a_n$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

$\begin{matrix} a_1 &=& -(\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_n) \\ a_2 &=& \alpha_1 \alpha_2 + \alpha_1 \alpha_3 + \ldots + \alpha_1 \alpha_n + \alpha_2 \alpha_3 + \ldots + \alpha_{n-1} \alpha_n \\ a_3 &=& -(\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 + \alpha_1 \alpha_2 \alpha_4 + \ldots + \alpha_{n-2} \alpha_{n-1} \alpha_{n}) \\ & &\ldots \\ a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (\alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-1} + \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_{n-2} \alpha_n + \ldots + \alpha_2 \alpha_3...\alpha_n) \\ a_n &=& (-1)^n \alpha_1 \alpha_2 \ldots \alpha_n \end{matrix}.$

Иначе говоря $(-1)^ka_k$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Если старший коэффициент многочлена $a_0 \ne 1$, то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_0$ (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что $a_0 = 1$

$x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если $~x_1$ и $~x_2$ — корни квадратного уравнения $\ ax^2+bx+c=0$ ,то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=~\frac{-b}{a} \\ ~x_1*x_2= ~\frac{c}{a} \end{cases}$

В частном случае, если $a=1$ (приведенная форма $x^2+bx+c=0$), то

$\begin{cases} ~x_1+x_2=-b \\ ~x_1*x_2=c\end{cases}$.

Кубическое уравнение

Если

$x_1, x_2, x_3$ — корни кубического уравнения $p(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, то

$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = \frac{-b}{a}\\(x_1 * x_2 + x_1 * x_3 + x_2 * x_3) = \frac{c}{a} \\ x_1 * x_2 * x_3 = \frac{-d}{a}\end{cases}$

См. также

• Теорема Безу
• Основная теорема алгебры